# 量子計算狄拉克表示法(Dirac's Notation)
量子計算需要具有量子狀態的系統，特別是具有雙態的量子系統，例如電子的自旋(自旋向上或向下)、光子的偏振狀態(水平偏振或垂直偏振)...等，這些雙態的量子系統可以讓我們聯想到傳統電腦的位元表達，雙態的量子位元可以用0或1表示，或是用行向量(Column Vector)或是列向量(Row Vector)來表達位元的狀態，為了計算方便，Dirac提出了Bra-Ket表示法，來表達向量計算
## 行向量 Ket :
- 1 Qubit
$$
|0\rangle = \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}
$$
$$
|1\rangle = \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}
$$
- 2 Qubit
$$
|00\rangle = \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
$$
$$
|01\rangle = \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
$$
$$
|10\rangle = \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
$$
$$
|11\rangle = \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
$$
## 列向量 Bra :
- 1 Qubit
$$
\langle 0 | = \left(1\; 0 \right) \\
$$
$$
\langle 1 | = \left(0\; 1 \right)
$$
- 2 Qubit
$$
\langle 00 | = \left(1\; 0\; 0\;0 \right) \\
$$
$$
\langle 01 | = \left(0\; 1\; 0\;0 \right) \\
$$
$$
\langle 10 | = \left(0\; 0\; 1\;0 \right) \\
$$
$$
\langle 11 | = \left(0\; 0\; 0\;1 \right) \\
$$
$行向量或是列向量元素(element)數目 = (2)^{量子位元數}$，例如1個量子位元會有$2^1=2$個向量元素，2個量子位元會有$2^2=4$個向量元素，3個量子位元會有$2^3=8$個向量元素，以此類推。
## 行向量Ket與列向量Bra的轉換

Ket和Bra向量屬於希爾伯空間向量(Hillbert Space^1^)，此向量空間是一個複數的向量空間，因此行向量Ket與列向量Bra有下列關係:
$$
|\psi \rangle^{\dagger} = \langle \psi |
$$

其中$\dagger$符號代表將向量作轉置(transport)並且取共軛複數(conjugate)，而共軛只會對虛數有作用( $i$ $\to$ $-i$或是 $-i$ $\to$ $i$ )例如我們有一向量
$$
|0 \rangle = \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}\\
$$
$$
|0 \rangle^{\dagger}= ( \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}^{\bf T})^* = (1\;0)^*=(1\;0)= \langle 0|
$$
## Bra-Ket 乘積運算
Bra-Ket可進行以下四種向量乘積運算:
- $|\psi \rangle|\psi \rangle$ - _Ket 張量積_
$$
|\psi \rangle = \begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2 \\
\end{pmatrix} \quad and \quad |\phi \rangle=\begin{pmatrix}
\phi_1 \\
\phi_2
\end{pmatrix} $$
$$
|\psi \rangle |\phi \rangle=|\psi \rangle \bigotimes |\phi \rangle=\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2 \\
\end{pmatrix}\bigotimes\begin{pmatrix}
\phi_1 \\
\phi_2 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\psi_1 \begin{pmatrix}
\phi_1 \\
\phi_2 \\
\end{pmatrix}\\
\psi_2 \begin{pmatrix}
\phi_1 \\
\phi_2 \\
\end{pmatrix}\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\psi_1\phi_1 \\
\psi_1\phi_2 \\
\psi_2\phi_1 \\
\psi_2\phi_2
\end{pmatrix}
$$
_Example_ :
$$
|0\rangle|0 \rangle=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
\end{pmatrix} \bigotimes \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
\end{pmatrix} \\
0 \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
\end{pmatrix} = |00\rangle
$$
$$
|0\rangle|1 \rangle=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
\end{pmatrix} \bigotimes \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} \\
0 \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
0 \\
\end{pmatrix} = |01\rangle
$$
張量積運算可將向量維度擴展，如兩個維度$1\times 2$ 的 Ket 向量做向量積運算:
會產生一個維度$1\times4$ 的 Ket 向量，也就是將 1 Qubit Ket向量擴展為 2 Qubit Ket向量。
由張量乘績運算可以注意到
$$|0\rangle|0\rangle=|00\rangle
\quad |0\rangle|1\rangle=|01\rangle$$
$$
|00\rangle=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} \quad |01\rangle=\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
$$
Ket向量內的為狀態表示00就是對應二進制的0，而01就是二進制1

- $\langle \psi| \langle \psi|$ - _Bra 張量積_
$$
\langle \psi | = \begin{pmatrix}
\psi_1 \;
\psi_2
\end{pmatrix} \quad and \quad \langle\phi |=\begin{pmatrix}
\phi_1 \;
\phi_2
\end{pmatrix}
$$
$$
\langle \psi|\langle \psi|=\langle \psi| \bigotimes \langle \psi| = \begin{pmatrix}
\psi_1 \;
\psi_2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\phi_1 \;
\phi_2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\psi_1 \begin{pmatrix}
\phi_1 \;
\phi_2
\end{pmatrix} \quad
\psi_2\begin{pmatrix}
\phi_1 \;
\phi_2
\end{pmatrix}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\psi_1\phi_1 \quad
\psi_1\phi_2 \quad
\psi_2\phi_1 \quad
\psi_2\phi_2
\end{pmatrix}
$$
_Example_ :
$$
\langle 0|\langle 0|=\begin{pmatrix}
1 \;
0
\end{pmatrix}\bigotimes\begin{pmatrix}
1 \;
0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 \begin{pmatrix}
1 \;
0
\end{pmatrix}\quad
0\begin{pmatrix}
1 \;
0
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 \;
0 \;
0 \;
0 \;
\end{pmatrix}=\langle00|
$$
$$
\langle 0|\langle 1|=\begin{pmatrix}
1 \;
0
\end{pmatrix}\bigotimes\begin{pmatrix}
0 \;
1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 \begin{pmatrix}
0 \;
1
\end{pmatrix}\quad
0\begin{pmatrix}
0 \;
1
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 \;
1 \;
0 \;
0 \;
\end{pmatrix}=\langle01|
$$
- $|\psi\rangle\langle\phi|$ - _Ket-Bra乘積(外積)_
$$
|\psi \rangle = \begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2 \\
\end{pmatrix} \quad and \quad \langle\phi |=\begin{pmatrix}
\phi_1 \;
\phi_2
\end{pmatrix} $$
$$
|\psi \rangle\langle\phi |=\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2 \\
\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
\phi_1 \;
\phi_2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\psi_1 \begin{pmatrix}
\phi_1 \;
\phi_2
\end{pmatrix}\\
\psi_2 \begin{pmatrix}
\phi_1 \;
\phi_2
\end{pmatrix}\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\psi_1\phi_1 \quad \psi_1\phi_2 \\
\psi_2\phi_2 \quad \psi_2\phi2
\end{pmatrix}
$$
進行Ket-Bra外積時，會將原本 $m \times 1$ 的行向量與 $1 \times n$的列向量擴展為$m \times n$的矩陣

_Example_ :
$$
|00 \rangle = \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
\end{pmatrix} \quad and \quad \langle10 |=\begin{pmatrix}
0 \;
0 \;
1 \;
0
\end{pmatrix}
$$
$$
|00 \rangle\langle 10 |=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
0 \;
0 \;
1 \;
0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 \begin{pmatrix}
0 \;
0 \;
1 \;
0
\end{pmatrix}\\
0 \begin{pmatrix}
0 \;
0 \;
1 \;
0
\end{pmatrix}\\
0 \begin{pmatrix}
0 \;
0 \;
1 \;
0
\end{pmatrix}\\
0 \begin{pmatrix}
0 \;
0 \;
1 \;
0
\end{pmatrix}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 \quad 0 \quad 1 \quad 0\\
0 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \\
0 \quad0 \quad 0 \quad 0
\end{pmatrix}
$$

- $\langle\psi|\phi\rangle$ _Bra-Ket - 乘積(內積)_
$$
\langle\psi | = \begin{pmatrix}
\psi_1 \;
\psi_2
\end{pmatrix} \quad and \quad |\phi \rangle=\begin{pmatrix}
\phi_1 \\
\phi_2
\end{pmatrix}
$$
$$
\langle\psi||\phi\rangle=\langle\psi|\phi\rangle=\begin{pmatrix}
\psi_1 \;
\psi_2
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
\phi_1 \\
\phi_2
\end{pmatrix} = \psi_1\phi_1 + \psi_2\phi_2
$$
Bra-Ket內積會得到一個純量(Scalar)，在維度關係上:
內積非常重要，其意義代表向量 $\langle\psi|$ 在向量 $|\phi\rangle$ 的投影量，如果 $\langle\psi|$ 和$|\phi\rangle$ 彼此正交，則 $\langle\psi|\phi\rangle=0$
_Example:_
$$
\langle0|1\rangle=\begin{pmatrix}
1 \;
0
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix} = 1\cdot0+0\cdot1=0
$$