# 超密編碼 Superdense Coding

[量子通訊(參考另一篇介紹)](https://hackmd.io/@EyYtbwdYQni5VVJSJxfpgA/ry-1odrW-x)是利用糾纏量子態傳送量子位元資訊，而superdense coding (超密編碼) 是一種量子通訊協定，它允許發送者（Alice）使用一個量子位元（qubit）來傳輸兩個經典位元（bits）的資訊給接收者（Bob），打破傳統一個位元只能傳送一個位元資訊，超密(Superdense)編碼因而得名。
### 編碼步驟
假設分隔兩地的Alice和Bob共享一對處於貝爾糾纏態量子位元 $(Q_A,Q_B)$，也就是各自持有其中一個量子位元)，其量子位元總狀態可以表示成
$$
\begin{align}
|\phi^+\rangle&=\frac{1}{\sqrt{2}}
\left(|0\rangle_A|0\rangle_B+|1\rangle_A|1\rangle_B\right)\\
\end{align}
$$

假定Alice想要傳送2個bit的傳統位為資訊 $\rm{b_1b_2}$，2位元資訊可以是00，01，10，11，針對想要傳送的資訊，Alice需要對自己持有的量子位元做量子位元閘計算(或說編碼)，對應的量子閘如下:
$$
\begin{align}
&\rm{b_1b_0}=00 \rightarrow \hat{I}\\
&\rm{b_1b_0}=01 \rightarrow \hat{X} , \text當b_0=1\\
&\rm{b_1b_0}=10 \rightarrow \hat{Z} , \text當b_1=1\\
&\rm{b_1b_0}=11 \rightarrow \hat{Z}\hat{X} , \text當b_0=b_1=1
\end{align}
$$
通過量子閘運算後，總狀態變化如下:
$$
\begin{align}
\hat{I}|\phi^+\rangle&=|\phi^+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_A|0\rangle_B+|1\rangle_A|1\rangle_B\right) \\
\hat{X}|\phi^+\rangle&=|\psi^+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|1\rangle_A|0\rangle_B+|0\rangle_A|1\rangle_B\right) \\
\hat{Z}|\phi^+\rangle&=|\phi^-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_A|0\rangle_B-|1\rangle_A|1\rangle_B\right)\\
\hat{X}\hat{Z}|\phi^+\rangle&=|\psi^-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|1\rangle_A|0\rangle_B-|0\rangle_A|1\rangle_B\right)
\end{align}
$$
現在Alice可以透過量子通道，將已經編過密碼的量子位元傳送給Bob，然後Bob就可進行解碼的量子運算，首先以Alice的量子位元當作控制位元 $Q_A$，而自己的量子位元 $Q_B$ 當做目標位元，進行 $CNOT$ 運算，然再對 $Q_A$ 做 $\text{Hadamart}$ 運算:
$$
\begin{align}
\rm{b_1b_0}=00 \implies \hat{H}(\hat{CNOT}|\phi^+\rangle)&=\hat{H}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_A|0\rangle_B+|1\rangle_A|0\rangle_B\right)\\
&=\hat{H}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_A+|1\rangle_A\right)|0\rangle_B\\
&=\hat{H}\hat{H}|0\rangle_A|0\rangle_B\\
&=|00\rangle
\end{align}
$$
$$
\begin{align}
\rm{b_1b_0}=01 \implies \hat{H}(\hat{CNOT}|\psi^+\rangle)&=\hat{H}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|1\rangle_A|1\rangle_B+|0\rangle_A|1\rangle_B\right)\\
&=\hat{H}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_A+|1\rangle_A\right)|1\rangle_B\\
&=\hat{H}\hat{H}|0\rangle_A|1\rangle_B\\
&=|01\rangle
\end{align}
$$
$$
\begin{align}
\rm{b_1b_0}=10 \implies \hat{H}(\hat{CNOT}|\phi^-\rangle)&=\hat{H}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_A|0\rangle_B-|1\rangle_A|0\rangle_B\right)\\
&=\hat{H}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_A-|1\rangle_A\right)|0\rangle_B\\
&=\hat{H}\hat{H}|1\rangle_A|0\rangle_B\\
&=|10\rangle
\end{align}
$$
$$
\begin{align}
\rm{b_1b_0}=11 \implies \hat{H}(\hat{CNOT}|\psi^-\rangle)&=\hat{H}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_A|1\rangle_B-|1\rangle_A|1\rangle_B\right)\\
&=\hat{H}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_A-|1\rangle_A\right)|1\rangle_B\\
&=\hat{H}\hat{H}|1\rangle_A|1\rangle_B\\
&=|11\rangle
\end{align}
$$
經過量子閘運算後可以發現總狀態完全對應Alice想要傳遞的傳統位元編碼，因此Bob只要對量子位元 $(Q_A,Q_B)$ 進行量測即可得編碼。

### 量子線路
$\rm{b_1b_0}=00 \implies |0_{q_1}0_{q_0}\rangle$

$\rm{b_1b_0=01} \implies |0_{q_1}1_{q_0}\rangle$

$\rm{b_1b_0=10} \implies |1_{q_1}0_{q_0}\rangle$

$\rm{b_1b_0=11} \implies |1_{q_1}1_{q_0}\rangle$