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title: Probabilités continues

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Probabilités continues
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## 1) Variables aléatoires réelles


Définition: 
Une variable aléatoire réelle est une application de ($\Omega$, $C$, $P$) dans $R$.
$R$ est muni de sa tribu Borélienne ($R, B$).
$B$ est le $\sigma$-algèbre engendré par les intervalles de $R$ ($Omega, C, P) espace probabilisé.

Pour tout B appartenant à $B$, B: Borélien
On définit $P_x$(B) = P({w \| X(w) appartient à B}) = P({$X^{-1}$(B)$})
$X^{-1}$ image réciproque de B.
Ceci définit une probabilité sur ($R, B$)

Définition:
La fonction de répartition d'une variable aléatoire X est l'application F: $R$ -> [0, 1] et x -> F(x) = P(X < x)
F(x) est une fonction monotone croissante.
F(-$\infty$) = 0, F(+$\infty$) = 1

## 2) Variables aléatoires continues à densité

Définition:
On dit qu'une variable aléatoire réeele X est à densité lorsque sa fonction de répartition F est continue sur $R$ et de classe $C^1$ sur $R$, privé d'un ensemble fini de points.

Toute foncton f à valeurs positives qui diffère de F'(X)qui a un nombre fini de points (F'(X) = f(x) sauf en certains points) est appelée densité de X.

Remarque: f(x) = F'(X) >= 0 car F est croissante

Théorème:
Soit X une variable aléatoire réelle à densité de fonction de répartition F. Si f est une densité de X, alors pour tout x appartenant à $R$, F(x) = $\int_Rf(t) dt$

Propriété:
Une fonction réelle f définie sur $R$ est une densité de probabilité si f(x) est continue sur $R$ sauf éventuellement en un nombre fini de points.
f(x) >= 0 pour tout x appartement à $R$, $\int_Rf(x)dx$ = 1

D'après le théorème, F(x) = $\int_R f(t)dt$
Or $\int_R f(t)dt$ = lim F(x) = 1

Propriété:
X variable aléatoire admettant une densité:
- i. Pout tout a appartenant à $R$, P(X=a) = 0
- ii. Pour tout (a, b) appartenant à $R^2$ a <= b:
    - P(a < X <= b) = P(a <= X < b) = P(a <= X <= b) = P(a < X < b)
    - P(a <= X) = P(a < X)

## 3) Moment d'une variable aléatoire continue

### a) Espérance de X

Définition: X une variable aléatoire à densité f(x). On appelle espérance de X:
E(X) = $\int_R xf(x)dx$ si l'intégrale converge (sinon pas d'espérance)

Exemple: 
- f(x) = {cos(x) si x appartient à [0, $\frac{\pi}{2}$], 0 sinon}
- E(X) = $\int\limits_0^\pi xcos(x)dx = IPP = \frac{\pi}{2} - 1$

### b) Variance de X

Définition: X variable aléatoire à densité f(x). On appelle variance de X:
V(X) = E((X - E$(X)^2$))
Formule de Kourg-Hughens:
- V(X) = E($X^2$) - E$(X)^2$

## Exercices proposés en classe

1) f(x) = {cos(x) si x appartient [0, $\frac{\pi}{2}$], 0 sinon}
    - Vérifier si f est une densité.
    - Soit X la variable aléatoire de densité f(x)
        Déterminer la fonction de répartition
        
2)

3) Le fonctionnement d'une machine est perturbé par des pannes. On considère 3 v.a. $X_i$:
    - $X_1$ temps exprimé en heures, écoulé entre la mise en route de la machine et la première panne
    - $X_2$ (resp $X_3$) est le temps en heures écoulé entre la remise en route de la machine après la première panne (resp la 2ème) et la panne suivante.
    - Après la troisième panne, l'utilisation de la machine est suspendue.
Les v.a. $X_i$ sont indépendantes et distribuées selon la même loi (suivent la même loi), dont la densité est f(t) = {$\frac{1}{2} e^{-\frac{1}{2}t}$ si t >= 0, 0 si t < 0}
    1) Quelle est la durée moyenne de fonctionnement entre 2 pannes consécutives ?
    2) Soit E l'évênement "Chacune des trois périodes de fonctionnement dure plus de 2 heures". Calculer la probabilité de l'évenement E.
    3) Soit Y la v.a. égale à la plus grande des 3 durées de fonctionnement de la machine. Calculer P(Y <= t).
    4) Déterminer une densité de Y.
    5) Calculer $\int\limits_0^{+\infty} t e^{at} dt$ pout tout a appartenant à $R$. En déduire E(Y).
    