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title: 對稱矩陣的反矩陣也是對稱
categories: practice
date:
authors: 李翊誠
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tags: LA-Tea
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## 題目

Prove that the inverse of a symmetric invertible matrix is also symmetric.
—— from 交大資聯105

## 想法與解法

### 李翊誠 says

#### 想法

一矩陣能夠同時有**對稱**、**可逆**等好性質，那麼其實這題應該不會太難，可以直接依據此矩陣的特性寫出等式，或許就能解開了。

#### 解法

我們假設矩陣 $A$ 是對稱、可逆的。我們可以說 $A\trans=A$，且存在一個矩陣 $A^{-1}$ 使得 $A^{-1}A=I=AA^{-1}$。

又因為 $I$ 的轉置和本身相同，因此們可以觀察
$$
\begin{aligned}
I\trans &=(AA^{-1})\trans\\
&=(A^{-1})\trans A\trans\\
&=(A^{-1})\trans A \\
&=I.
\end{aligned}
$$
反過來也可以得到
$$
\begin{aligned}
I\trans &=(A^{-1}A)\trans\\
&=A\trans (A^{-1})\trans\\
&=A(A^{-1})\trans \\
&=I.
\end{aligned}
$$
從上面的結果，我們得知：
$$
(A^{-1})\trans A = I = A(A^{-1})\trans.
$$
這表示 $(A^{-1})\trans$ 也能是 $A$ 的反矩陣，但根據反矩陣的唯一性，$(A^{-1})\trans$ 和 $A^{-1}$ 兩者其實相同，也就是
$$
(A^{-1})\trans = A^{-1}.
$$
因此，我們可以得證矩陣 $A$ 的反矩陣 $A^{-1}$ 也是對稱的。