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title: 馬可夫矩陣的特徵值包含1
categories: practice
date: 2021-08-11 08:00:00 +0800
authors: Makoto Li
spicy: 2
tags: LA-Tea
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## 題目

(是非題)--from交大資聯106
【 】A Markov matrix must have an eigenvalue $\lambda =1$.

:::warning

- [x] 句點
:::

## 想法與解法

### 李翊誠 says

#### 想法

不知道各位馬可夫矩陣還記得多少，或許在上大學之後就很少碰過它了，但在高中時大家一定都接觸過，當時的題目內容通常會是在計算每年有幾 % 的人移出至 A 城市，有多少人移至 B 城市。而它就是作為其中的轉移矩陣，其特點為**每一行的元素和都為 $1$**。

#### 解法

首先，這題的答案是 ◯。因為每一行的元素和都為 $1$，所以 $M-I$ 可以透過一些列運算（把第一列除外的每一列加到第一列），輕易看出行列式值為 $0$。由此可知 $M - I$ 的核數不為 $0$，因此 $1$ 是 $M$ 的特徵值。

接下來我們就以一個 $3\times 3$ 的馬可夫矩陣 $M$ 來說明為什麼。

我們先令
$$M=\begin{bmatrix}
m_{11} & m_{12} & m_{13}\\
m_{21} & m_{22} & m_{23}\\
m_{31} & m_{32} & m_{33}
\end{bmatrix}$$
為一馬可夫矩陣。如此可以得到，
$$M-I=
\begin{bmatrix}
m_{11}-1&m_{12}&m_{13}\\
m_{21}&m_{22}-1&m_{23}\\
m_{31}&m_{32}&m_{33}-1
\end{bmatrix}.$$
經過一些列運算將第二列和第三列都加到第一列後，因為所有列之中元素和都為 $1$，列運算的結果為
$$\begin{bmatrix}
0&0&0\\
m_{21}&m_{22}-1&m_{23}\\
m_{31}&m_{32}&m_{33}-1
\end{bmatrix},$$
其第一列的元素全為 $0$。如此一來，$\det(M-I) = 0$ 表示 $M-I$ 的核數不為 $0$，因此存在一個非零向量 $\bx$ 使得
$$(M-I)\bx = \bzero.$$
而 $\bx$ 正是對應到特徵值 $1$ 的特徵向量，因為
$$M\bx = \bx.$$
所以**每一行的元素和都為 $1$ 的這個特點，必定有特徵值為 $1$**。

:::warning

- [x] "因為每一行的元素和都為 1 這個特點，必定有特徵值為 1" 才是要證明的主軸，所以要說明為什麼這句話是對的。比如說：因為 ... 都為 $1$，所以有 $\bone\trans M = \bone$。由此可知 $M - I$ 的核數不為 $0$ ...，因此 $1$ 是 $M$ 的特徵值。這部份沒改到？
- [x] "我們先假設。$M = ...$" -> "我們先假設 $M = ... .$" 句點是在矩陣後面
- [x] "這題的答案是 ○，" --> "這題的答案是 ◯。"；換圈、還有逗點換句點
- [x] "，接下來我們就來說明為什麼：" --> "。接下來我們用 $3\times 3$ 的馬可夫矩陣來當作例子。"（後面的說明算 $3\times 3$ 的例子而已，不能算證明。）
- [x] Markov matrix --> 馬可夫矩陣
- [x] [B01](https://sagelabtw.github.io/LA-Tea/style.html#b01-%E5%8F%A5%E5%AD%90%E5%BF%85%E9%A0%88%E5%AE%8C%E6%95%B4) 比如說 "我們先假設 ..." 後面沒句點。
- [x] row operation --> 列運算
- [x] 將 第二列 和 第三列 加入 第一列 --> 將第二列和第三列 加入第一列
- [x] [B02](https://sagelabtw.github.io/LA-Tea/style.html#b02-%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%87%89%E8%A9%B2%E5%9C%A8%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E8%A3%A1) 一些 $0$ 和 $1$ 要放數學模式
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