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</style>
<style>
/* 特定表格樣式 */
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</style>
**Copyright &copy;2023 Chin-Hung,Chao** </br>
最後更新日期2023/9/14

---

## 庫侖定律 (Coulomb's Law)

### ==定義：==
兩個點電荷之間的會產生互相吸引或排斥的靜電力。

### ==數學關係式：==
$\mathbf{F_q}= \frac {kQq}{r^2}\hat{r}=\frac {1}{4 \pi \epsilon_o}\frac {Qq}{r^2}\hat{r}$

其中：
- $F_q$ 是靜電力
- $Q$ 和 $q$ 分別是兩個點電荷的電量
- $r$ 是兩點電荷之間的連線距離
- $k$ 是庫侖常數，約為 $9 \times 10^9 \frac {Nm^2}{C^2}$
- $\epsilon_o$ 是真空介電常數，約為$8.85 \times 10^{-12} \frac {C^2}{Nm^2}$

### ==討論：==
- 異性電互相吸引，同性電互相排斥
- 基本電荷量為 $e=1.6 \times 10^{-19} \ C$ ( $1 \ C=6.25\times 10^{18} \ e$)
- 帶電均勻球體間，$r$ 取圓心連線距離
- 根據**球殼定理**，在均勻帶電球殼內部，所受靜電力為0(重力&電力均適用)
<details>
<summary><span class="d-text">球殼定理證明：(點我)</span></summary>

></br>
均勻帶電金屬球殼，有一點電荷$q$在球殼中任一處，考慮一個極小角度$\theta$</br>
>- $F_{q,1}=\frac {kQ_1q}{{r_1}^2}$</br>
$F_{q,2}=\frac {kQ_2q}{{r_2}^2}$</br>
其中$Q_1$和$Q_2$未知
>- 由於外球殼電荷分布均勻，表面電荷密度 $\sigma=\frac {Q}{A}$</br>因此面積越大，電荷量越大
>- 又$A_1=\pi (r_1\frac {\theta}{2})^2$</br>同理$A_2=\pi (r_2\frac {\theta}{2})^2$</br>
>- $A_1$表面所帶電量為$Q_1=$$\sigma$$\pi$$(r_1\frac {\theta}{2})^2$<br>
>$A_2$表面所帶電量為$Q_2=$$\sigma$$\pi$$(r_2\frac {\theta}{2})^2$</br>
>- $F_{q,1}=\frac {kQ_1q}{{r_1}^2}$$=k\sigma\pi (\frac {\theta}{2})^2q$</br>
$F_{q,2}=\frac {kQ_2q}{{r_2}^2}$$=k\sigma\pi (\frac {\theta}{2})^2q$</br>
>故$F_{q,1}=F_{q,2}$，即兩側對$q$所施予的電力大小相同，方向相反，互相抵銷</br>
>- 取任意角度方向上的結果均相同，因此在球殼上所有電荷對對$q$的總靜力和為0，故得證。
</details>

### ==實際應用：==
- 靜電吸附：靜電集塵器、油墨印表機、口罩...等</br>
- 口罩為何太久就沒用? [一個因素就是靜電層跟空氣濕氣接觸太久，導致電性中和，從而降低靜電吸附過濾效果](https://youtu.be/_viUXJW106E)。
- 油墨印表機 </br><img src="https://hackmd.io/_uploads/HygWRo6Tn.png" alt="charges and eletric force lines" class="medium-img">

- 小遊戲：靜電水母</br><iframe width="560" height="315" src="https://youtube.com/embed/QlRx07Pk8Eo?si=FO3oeTP_Mo8v7D6W" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>

### ==問題：==
(後續待補)

---

## 電場 (Electric Field)

### ==定義：==
**靜電力作用的空間**。它描述了一個電荷在空間中的位置受到的電力大小與方向。

### ==數學關係式：==
電場 $E$ 可以定義為每單位**測試正電荷q**所受的靜電力$F_q$</br>
$\mathbf{E}= \frac {\mathbf{F_q}}{q}$</br>

其中：
- $E$ 空間中某一處的電場
- $F_q$ 庫侖靜電力
- $q$ 測試正電荷

### ==電力線：==

- 將抽象看不見的場具像化：</br>**電場大小：電力線的疏密程度</br>電場方向：測試正電荷的受力方向**

<!-- 使用特定表格樣式 -->
<table class="custom-table1">
<tr>
<th>狀況</th>
<th>實驗圖</th>
<th>電力線圖</th>
</tr>
<tr>
<td>正電荷</td>
<td><img src="https://hackmd.io/_uploads/HJXeZtpR3.png" alt="正電荷"></td>
<td><img src="https://hackmd.io/_uploads/r1AmRuT03.png" alt="正電荷電力線"></td>
</tr>
<tr>
<td>負電荷</td>
<td><img src="https://hackmd.io/_uploads/B1LbWYpR2.png" alt="負電荷"></td>
<td><img src="https://hackmd.io/_uploads/By0s2OaAn.png" alt="負電荷電力線"></td>
</tr>
<tr>
<td>兩個異性點電荷</td>
<td><img src="https://hackmd.io/_uploads/rJzO6OTAn.png" alt="異性點電荷"></td>
<td><img src="https://hackmd.io/_uploads/SJLHMYaR3.png" alt="異性點電荷電力線"></td>
</tr>
<tr>
<td>兩個同性點電荷</td>
<td><img src="https://hackmd.io/_uploads/HJWa6_aR2.png" alt="同性點電荷"></td>
<td><img src="https://hackmd.io/_uploads/HytFGK6C3.png" alt="同性點電荷電力線"></td>
</tr>
<tr>
<td>點電荷與帶電平板</td>
<td><img src="https://hackmd.io/_uploads/ByEkgtTC3.png" alt="點電荷與帶電平板"></td>
<td><img src="https://hackmd.io/_uploads/By7fNYTR2.png" alt="點電荷與帶電平板電力線"></td>
</tr>
<tr>
<td>平行帶電平板</td>
<td><img src="https://hackmd.io/_uploads/SJAvYupAn.png" alt="平行帶電平板"></td>
<td><img src="https://hackmd.io/_uploads/Bke9BFpC3.png" alt="平行帶電平板電力線"></td>
</tr>
</table>

- 電力線性質：
1. 由正電荷射出，射入負電荷。<span class="green-text"> (測試正電荷受力方向) </span>
2. 彼此不相交。<span class="green-text"> (空間中某處的淨靜電力只會有一個方向)</span>
3. 非封閉曲線。<span class="green-text"> (因為正負電荷可以單獨出現)</span>
4. 電力線越密電場越強。
5. 電力線方向該處測試正電荷受力方向
6. 電荷量與電力線總數量成正比。
<img src="https://hackmd.io/_uploads/HJIKh_TRh.png" alt="charges and eletric force lines" class="medium-img">

### ==討論：==

- **點電荷** $Q$ 於空間中所建立之電場大小為 $E=\frac {kQ}{r^2}$ ( $E \propto Q$，對應回電力線性質 6 )</br>
</br>其中Q又稱**場源電荷**，$r$ 為場源電荷Q到測試正電荷q之間的距離。

- **場的物理意義**：物質透過場來產生超距力作用。

<details>
<summary><span class="d-text">物質如何透過場作用(點我)</span></summary>

>簡介：</br>帶電粒子$Q$(場源粒子)建立電場$E$(向量場)，透過光子(交換粒子)來交換能量，以此與電場中的帶電粒子發生交互作用。</br>如下圖(a)所示，當A將交換粒子丟出時，A向左移動，當B接到交換粒子，B向右移動，結果就是A和B受到交互作用，彼此排斥開來。圖(b)是用迴力鏢來解釋彼此互相吸引的交互作用。
>
>
>課外參考資料：
>|基本作用力|作用距離|相對強度|交換粒子|
>|:--:|:--:|:--:|:--:|
>|萬有引力|$\infty$|$10^{-39}$|重子(graviton)|
>|電磁交互作用|$\infty$|$10^{-2}$|光子(photon)|
>|強交互作用|$\lt 10^{-15} \ m$|$1$|膠子(Gluon)|
>|弱交互作用|$\lt 10^{-18} \ m$|$10^{-13}$|W玻色子(W-boson)</br>Z玻色子(Z-boson)|

</details>

<details>
<summary> <span class="d-text">為何電場 E 跟距離 r 成平方正比關係(點我)</span> </summary>

>平方反比定理：每單位面積的能量隨距離 r 成平方反比</br><img src="https://hackmd.io/_uploads/SkgqHspan.png" alt="charges and >eletric force lines" class="medium-img"></br>
>電荷透過電場來交換能量，產生庫侖靜電力</br><img src="https://hackmd.io/_uploads/BkbwAp0Cn.png" alt="charges and eletric force lines" class="small-img">

</details>

- 多點電荷($Q_1、Q_2...$)所產生的電場處理方式</br>$\Rightarrow$ **疊加原理**(向量加法)：$\Sigma \mathbf{E}=\mathbf{E_1}+\mathbf{E_2}+...$
- **平行帶電板**中的電場為**均勻電場**。

- 電荷q置於電場E中時，會受到電力作用$\mathbf{F_q}=q\mathbf{E}$。
- 電場與金屬間的交互作用。</br>金屬內部具有自由電子，當達到靜電平衡時：<span class="green-text">(靜電平衡條件：電場為零，即電位相等)</span>
- 電荷必分布在金屬表面上。
- 曲率半徑相同電荷表面密度相等。
- 曲率半徑越大，電荷表面密度越小</br>故尖端處電場將特別大$\Rightarrow$此為避雷針的原理。
- 金屬內部電場必為零。<span class="green-text">(自由電子會受到外部電場作用，金屬將形成內部電場，抵抗外部電場)</span>
- 電力線必垂直金屬表面<span class="green-text">(否則電荷必會受電力在金屬表面移動)</span>
- 屏蔽效應

### ==實際應用：==
- 傳統顯示器(映像管)：利用電場控制電子束來產生影像
<img src="https://hackmd.io/_uploads/ryJpYTA63.png" alt="charges and eletric force lines" class="medium-img">
- 電容器：多應用在3C用品中，如電容式麥克風、手機觸控螢幕
- 電子束微鏡 (Electron Microscopes)：利用電場將電子束集中到一個非常小的點，使其能夠觀察非常小的物體。電子束微鏡主要分為兩種主要類型：TEM(Transmission electron microscope)和SEM(Scanning Electron Microscope)</br>
- SEM掃瞄出的新冠病毒</br>
<img src="https://hackmd.io/_uploads/HkJ-3aRa2.png" alt="charges and eletric force lines" class="medium-img">
- TEM掃瞄出的原子結構</br>

### ==問題：==
- 觀念診斷：</br>電力線是否就是電荷在電場中的運動軌跡? 請說明原因。</br>
<details>
<summary>Answer</summary>
<span class="blue-text">Ans. 不一定</span></br>
<div style="border: 2px solid black; padding: 10px; display: inline-block; font-size: 1em;">
說明：</br>
當一個正電荷在電場中釋放的瞬間，它會沿著電力線的方向運動。但這不意味著電力線是電荷的運動軌跡。電荷的實際軌跡還受到其當下速度方向與加速度方向來決定。
</div>
</details>

(後續待補)

---

## 電位能 (Electric Potential Energy)

### ==定義：==
電位能是描述兩個帶電物體之間的能量。</br>
- 當兩個帶電物體相互作用時，它們之間的電力會對其中一個物體作功，從而改變它的電位能。 <span class="red-text">【由守恆力(保守力)作功等於負的位能變化 $W_q=- \Delta U_q$ 定義】</span>

### ==數學關係式：==
若定義無窮遠處為零位面下，電位能 $U_q$ ：</br>

$U_q =\frac {kQq}{r}$</br>

其中：
- $U_q$ 電位能
- $k$ 庫侖常數 $9 \times 10^9$ $\frac {N·m^2}{C^2}$
- $Q$ 和 $q$ 兩個點電荷的電荷量
- $r$ 兩個點電荷之間的距離

### ==討論：==
- 電位能數值本身無意義 <span class="green-text">(數值受零位面影響)</span>，位能變化量才有意義 <span class="green-text">(不受零位面影響)</span>。
- 兩點電荷間有一組位能 <span class="green-text">(位能為兩點電荷系統所共有)</span>。
- 在無窮遠處定義為零位面時
- $U_q > 0$，斥力位能<span class="green-text">(Q和q為同性電)</span>
- $U_q < 0$，引力位能<span class="green-text">(Q和q為異性電)</span>
- 平行帶電板(均勻電場)中，電位能亦可寫成$U_q=qEd$，其中d為在平行帶電板中與零位面的距離。
### ==問題：==

* 基礎練習：</br>今天有4顆點電荷，總共有幾組位能?
<details>
<summary>Answer</summary>
<span class="blue-text">Ans. 6組</span>
</details>

* 進階探討：</br>僅考慮古典理論分析下，當兩顆原子核靠得夠近時(約$10^{-15}$m)，將受到強交互作用合併，並進一步發生核融合反應，一般我們會說核融合反應需要高溫高壓，那請問需要多高的溫度下才能進行反應呢?【已知$k=9\times 10^9$ $\frac {N·m^2}{C^2}$，波茲曼常數$k_B=1.38 \times 10^{-23} \frac {J}{k}$，$e^+=1.6\times 10^{-19} C$】
<details>
<summary>Answer</summary>
<span class="blue-text">Ans.大約55億度</span>(古典理論結果，非實際數值)</br>

<div style="border: 2px solid black; padding: 10px; display: inline-block; font-size: 1em;">

$$
\begin{align*}
&令無窮遠處為零位面 \\
&理想氣體平均動能\ E_k=\frac {3}{2}k_BT\\
&根據力學能守恆\ 2\times \frac {3}{2}k_BT+0=2\times 0+\frac {k{(e^+)}^2}{r}\\
&\Rightarrow T \approx 5.5 \times 10^9 K (大約55億度) \\
\end{align*}
$$

<span class="gray-text">結果遠大於[1億度](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%A0%B8%E8%81%9A%E5%8F%98#:~:text=%E8%A6%81%E4%BD%BF%E8%9E%8D%E5%90%88,K)。真實狀況下還要考慮量子穿隧效應[$^{[1]}$](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E9%87%8F%E5%AD%90%E7%A9%BF%E9%9A%A7%E6%95%88%E6%87%89#:~:text=%E9%87%8F%E5%AD%90%E7%A9%BF%E9%9A%A7%E6%95%88%E6%87%89%E7%A4%BA%E6%84%8F%E5%9C%96%E3%80%82%E5%9C%A8%E7%B2%92%E5%AD%90%E7%A9%BF%E8%B6%8A%E9%AB%98%E4%BD%8D%E5%8B%A2%E5%A3%98%E9%98%BB%E7%A4%99%E7%9A%84%E9%81%8E%E7%A8%8B%E4%B8%AD%EF%BC%8C%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%B9%85%E4%B8%8D%E6%9C%83%E7%AB%8B%E5%88%BB%E8%AE%8A%E7%82%BA%E9%9B%B6%EF%BC%8C%E8%80%8C%E6%9C%83%E5%91%88%E6%8C%87%E6%95%B8%E8%A1%B0%E8%AE%8A%EF%BC%8C%E5%9B%A0%E6%AD%A4%EF%BC%8C%E7%B2%92%E5%AD%90%E6%8A%B5%E9%81%94%E4%BD%8D%E5%8B%A2%E5%A3%98%E7%9A%84%E5%8F%A6%E4%B8%80%E9%82%8A%E7%9A%84%E6%A9%9F%E7%8E%87%E4%B9%9F%E6%9C%83%E9%99%8D%E4%BD%8E)[$^{[2]}$](https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_tunnelling#:~:text=In%20quantum%20mechanics%2C%20a%20particle%20can%2C%20with%20a%20small%20probability%2C%20tunnel%20to%20the%20other%20side%2C%20thus%20crossing%20the%20barrier.)</span>

</div>
</details>

(後續待補)

---

## 電位(Electric Potential)

### ==定義：==
電位是在電場中某處單位正電荷的電位能。
它表示一個單位正電荷在該點受到的電位能。電位是一個標量量，與方向無關。

### ==數學關係式：==
電位 $V$ 的基本關係式為：</br>

$V = \frac{U}{q}$</br>

其中：
- $V$ 電位
- $U$ 電位能
- $q$ 測試正電荷

### ==討論：==
- 空間有一場源電荷時，空間中某處之電位為 $V = \frac{kQ}{r}$。</br>其中：</br>
- $k$ 庫侖常數 $9 \times 10^9$$\frac {N·m^2}{C^2}$
- $Q$ 場源電荷電量
- $r$ 從場源電荷到空間某處的距離

- 電位差$\Delta V=V_f-V_i=\frac{\Delta U_q}{q}$，其中q為測試正電荷</br>

- 將空間等電位處連線，會得到一個等位線圖。<span class="green-text">(概念上與地理的等高線or氣象的等壓線相同)</span></br>

|3D視圖|2D視圖|
|:--:|:--:|
|||
|||

<details>
<summary><span class="d-text">電位的simiation(點我)</span></summary>

>下方simulation引用自 [oPhysics: Interactive Physics Simulations](https://ophysics.com/em9.html)</br>
<iframe scrolling="no" title="Electric Fields & Equipotentials" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/gHSTHVZF/width/1189/height/679/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="800" height="500" style="border:0px;"></iframe>
</details>
</br>

- $\mathbf{E}=-\frac {\Delta V}{\Delta r} \hat{r}$，有電位差會必有電場，有電場必有電位差。
<details>
<summary><span class="d-text">證明：</span></summary>

考慮q從初位置$r_1$移到末位置$r_2$</br>
- 初位置$r_1$處電位$V_1=\frac {U_1}{q}$</br>
- 末位置$r_2$處電位$V_2=\frac {U_2}{q}$</br>
- $\Delta V=V_2-V_1=\frac {U_2-U_1}{q}=\frac {\Delta U_q}{q}$
- $W_q=-\Delta U_q$
- $\Delta V=\frac {-W_q}{q}=\frac {-q \mathbf{E} \cdot \mathbf{\Delta r}}{q}$$\Rightarrow\Delta V=-\mathbf{E}\cdot\mathbf{\Delta r}$ $\Rightarrow \mathbf{E}=-\frac{\Delta V}{\Delta r}\hat{r}$

</details>

- 電場方向為高電位指向低電位。<span class="green-text">(因為 $\mathbf{E}=-\frac {\Delta V}{\Delta r}\hat{r}$)</span>
- 正電荷有由高電位往低電位移動的趨勢(電力)。</br>負電荷有由低電位往高電位移動的趨勢(電力)。
- 電力線必與等位線垂直。(等位線上$\Delta V=0 \Rightarrow E=0$)
- 電力線與等位線關係圖。(下圖$Q_1$為$+2q$，$Q_2$為$-q$)</br><img src="https://hackmd.io/_uploads/ByttLi0Cn.png" alt="charges and eletric force lines" class="medium-img">

- 電位數值本身無意義，電位差值才有意義<span class="red-text">(電位差就是電壓)</span>。
- 平行帶電板之間的電位差$\Delta V=Ed$，其中d平行板間距。<span class="green-text">(因為 $\mathbf{E}=-\frac {\Delta V}{\Delta r}\hat{r}$)</span>

### ==問題：==
- 導線接電池為何有電流?

<details>
<summary>Answer</summary>
<span class="blue-text">Ans.電池兩端電位差(電壓)，導致導線上有電場，導線內的電子受到電力的推動，故產生電流。</span>

</details>

(後續待補)