# Учебная практика 2022. Витрук Дмитрий Александрович, 113 Прикладная математика, 1 группа. .Вторник 05.07.2022. Производные и интегралы.

[TOC]

## 1. Присутствовал на утренней конференции в Zoom 05.07.2022.

## 2. Познакомился с понятием производной функции. Заодно вспомнил таблицу сложный производных. Рассмотрел дифференцируемость и её примеры.

**Производная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).**

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.
Иллюстрация, которая помогла мне разобраться с данным определением:

Иллюстрация понятия производной

<b> Дифференцируемость </b>
Производная $f'(x_0)$ функции $f$ в точке $x_0$, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция $f$ является дифференцируемой в точке $x_0$ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:
$$f \in D(x_0) \iff \exists f'(x_0) \in (-\infty; \infty) $$

Для дифференцируемой в $x_0$ функции $f$ в окрестности $U$($x_0$) справедливо представление:
!$f(x)$ = $f(x_0)$ + $f'(x_0)$ $(x-x_0)$ + $o(x-x_0)$

Примеры дифференцируемости:
Пусть $f(x)$ = $x^2$ Тогда:

$f'(x_0)$ = $lim_{x\to x_0}$ $\frac{x^2 - x_0^2}{x - x_0}$ = $lim_{x\to x_0}$ $\frac{(x - x_0)(x + x_0)}{x - x_0}$ = $lim_{x\to x_0}$ $(x + x_0)$ = $2x_0.$

Пусть $f(x)$ = $\mid$ $x$ $\mid$. Тогда если $x_0$ $\neq$$0$, то $f'(x_0)$ = $sgn$ $x_0$,где <b>sgn</b> обозначает функцию знака.

А если $x_0$ = $0$, то $f'_+(x_0)$ = $1$, $f'_-(x_0)$ = $-1$, а следовательно<b> $f'(x_0)$</b> не существует.

## 3. Ознакомился с понятием о численном диференцировании. Разобрался с определением интерполяции.
<b> Численное дифференцирование — совокупность методов приближённого вычисления значения производной некоторой функции, заданной таблично или имеющей сложное аналитическое выражение. </b>

<b>Интерполяция</b>

Если известны значения функции $f$ в некоторых узлах $x_0,$ $x_1,$ $x_2,$ $.....$ $x_n$ то можно построить интерполяционный полином $P_n(x)$ (например, в форме Лагранжа или в форме Ньютона) и приближенно положить $f^r$ $(x)$ $\approx$ $P_n^r(x),$ $0 < r < N.$

Такие выражения называются формулами численного дифференцирования.

Иногда наряду с приближенным равенством удаётся (например, используя формулу Тейлора) получить точное равенство, содержащее остаточный член $R(x)$ называемый погрешностью численного дифференцирования:

$f^r$ $(x)$ = $P_n^r(x)$ + $R(x),$ $0 < r < N.$

Такие выражения называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Степень, с которой величина $h$ = $max$$\lbrace$ $x_i - x_i-1$ │ $i= 1,...,N$ $\rbrace$ входит в остаточный член, называется порядком погрешности формулы численного дифференцирования.

## 4. Ознакомился с понятием интеграла. Рассмотрел их свойства. Также рассмотрел определённый интеграл Римана, интеграл Ньютона-Лейбинца и неопределённый интеграл.

<b><em>Интеграл</em></b>
<b><em>В математике интеграл присваивает числа функциям таким образом, чтобы описать смещение, площадь, объем и другие понятия, возникающие при объединении бесконечно малых данных. Процесс нахождения интегралов называется интеграцией. Наряду с дифференциацией, интеграция является фундаментальной, существенной операцией исчисления, и служит инструментом для решения задач в математике и физике, включающих область произвольной формы, длину кривой и объем твердого тела, среди прочих.</em></b>

<b><em>Перечисленные здесь интегралы называются определёнными интегралами, которые можно интерпретировать как знаковую область области на плоскости, ограниченную графом данной функции между двумя точками в вещественной прямой. Обычно области выше горизонтальной оси плоскости являются положительными, а области ниже отрицательными. Интегралы также относятся к понятию антипроизводной, функции, производной которой является данная функция. В этом случае они называются неопределенными интегралами. Фундаментальная теорема исчисления связывает определенные интегралы с дифференциацией и предоставляет метод вычисления определённого интеграла функции при известности её антипроизводно. Изображение, которое мне дало более обширное понятие про определённый интеграл:</b></em>

Определенный интеграл функции может быть представлен в виде знаковой области, ограниченной ее графом.

<b>Определённый интеграл Римана.</b>

<b><em>Интеграл Римана определяется в терминах римановых сумм функций относительно помеченных разделов интервала. Помеченное разделение <u>замкнутого</u> интервала [a, b] на вещественной прямой является конечной последовательностью

$a$ = $x_0$ $\leq$ $t_1$ $\leq$ $x_1$ $\leq$ $t_2$ $\leq$ $x_2$ $\leq$ ... $\leq$ $x_n-1$ $\leq$ $t_n$ $\leq$ $x_n$ = $b.$

Это разбивает интервал [a, b] на n подинтерв интервалов [x_i−1, x_i], индексируемых i, каждый из которых «помечен» различающейся точкой t_i ∈ [x_i−1, x_i]. Риманова сумма функции f относительно такого помеченного раздела определяется как


таким образом, каждый член суммы представляет собой площадь прямоугольника с высотой, равной значению функции в различающейся точке данного подинтервала, и шириной, равной ширине подинтервала, Δi = x_i−x_i-1. Сетка такого помеченного раздела представляет собой ширину наибольшего подинтервала, образованного разделом, max_{i=1... n} Δi. Интеграл Римана функции f за интервал [a, b] равен S, если:

Для всех $\epsilon$ > $0$ существует $\delta$ > $0$ таким образом, что для любого раздела с тегами [a,b] с сеткой меньше $\delta$,

 $S$ - $\sum_i$

Когда выбранные теги дают максимальное (соответственно, минимальное) значение каждого интервала, сумма Римана становится верхней (соответственно, нижней) суммой Дарбу, предполагая тесную связь между интегралом Римана и интегралом Дарбу. Изображение, которое дало мне обширное понятие:</em></b>

Суммы Римана сходятся.

<b><em>Лейбниц и Ньютон

Основной прогресс в интеграции произошел в 17 веке с независимым открытием фундаментальной теоремы исчисления Лейбницем и Ньютоном. [10] Теорема демонстрирует связь между интеграцией и дифференциацией. Эта связь в сочетании со сравнительной простотой дифференциации может быть использована для вычисления интегралов. В частности, фундаментальная теорема исчисления позволяет решать гораздо более широкий класс задач. Равной по важности является всеобъемлющая математическая структура, которую разработали и Лейбниц, и Ньютон. Получив название бесконечно малое исчисление, оно позволило провести точный анализ функций в непрерывных областях. Эта структура со временем стала современным исчислением, чья нотация для интегралов взята непосредственно из работ Лейбница.</em></b>

## 5. Разобрался с символической интерпретацей.
<b><em>В исчислении символьное интегрирование — это задача нахождения формулы для антипроизводного, или неопределенного интеграла, данной функции f(x), т.е. нахождения дифференцируемой функции F(x) такой, что:
Это тоже обозначается:
</em></b>

<b><em>Обсуждение</em></b>

<b><em>Термин символический используется, чтобы отличить эту проблему от проблемы численного интегрирования, где значение F испрашивается на конкретном входе или наборе входов, а не на общей формуле для F.

Считалось, что обе проблемы имеют практическое и теоретическое значение задолго до появления цифровых компьютеров, но в настоящее время они обычно считаются областью информатики, поскольку компьютеры чаще всего используются в настоящее время для решения отдельных случаев.

Поиск производной выражения — это простой процесс, для которого легко построить алгоритм. Обратный вопрос нахождения интеграла гораздо сложнее. Многие относительно простые выражения не имеют интегралов, которые могут быть выражены в замкнутой форме. Смотрите антипроизводный и неэлементарный интеграл для получения более подробной информации.

Существует процедура, называемая алгоритмом Риша, которая способна определить, является ли интеграл элементарной функции (функции, построенной из конечного числа экспоненциалов, логарифмов, констант и n-х корней через композицию и комбинации с помощью четырех элементарных операций ) является элементарным и возвращает его, если он есть. В своем первоначальном виде алгоритм Риша не подходил для прямой реализации, а его полная реализация занимала много времени. Впервые она была реализована в Reduce в случае чисто трансцендентных функций; случай чисто алгебраических функций был решен и реализован в Reduce Джеймсом Х. Дэвенпортом; общий случай был раскрыт и реализован в Аксиоме Мануэлем Бронштейном.

Однако алгоритм Риша применим только к неопределенным интегралам, в то время как большинство интегралов, представляющих интерес для физиков, химиков-теоретиков и инженеров, являются определенными интегралами, часто связанными с преобразованиями Лапласа, преобразованиями Фурье и преобразованиями Меллина. Не имея общего алгоритма, разработчики систем компьютерной алгебры реализовали эвристику, основанную на сопоставлении шаблонов и использовании специальных функций, в частности неполной гамма-функции. Хотя этот подход является эвристическим, а не алгоритмическим, он, тем не менее, является эффективным методом решения многих определенных интегралов, с которыми сталкиваются практические инженерные приложения. Более ранние системы, такие как Macsyma, имели несколько определенных интегралов, связанных со специальными функциями в таблице поиска. Однако этот конкретный метод, включающий дифференциацию специальных функций в отношении его параметров, преобразование переменных, сопоставление шаблонов и другие манипуляции, был впервые предложен разработчиками системы Maple, а затем эмулирован Mathematica, Axiom, MuPAD и другими системами.</em></b>

## 6. Ознакомился с понятием о численном интегрировании.

<b><em>Численное интегрирование</em></b>

<em><u>В анализе <b>численное интегрирование</b> включает в себя широкое семейство алгоритмов вычисления численного значения определенного интеграла, и, следовательно, этот термин также иногда используется для описания численного решения дифференциальных уравнений. Данная статья посвящена вычислению определенных интегралов.

Термин числовая квадратура (часто сокращается до квадратуры) является более или менее синонимом численного интегрирования, особенно применительно к одномерным интегралам. Некоторые авторы называют численную интеграцию по более чем одному измерению кубатурой; Другие принимают квадратуру для включения интеграции более высоких измерений.

Основная задача численного интегрирования состоит в том, чтобы вычислить приближенное решение к определенному интегралу:


с заданной степенью точности. Если f(x) является гладкой функцией, интегрированной в небольшое число измерений, и область интегрирования ограничена, существует множество методов аппроксимации интеграла к желаемой точности. </u></em>

## 7. Освоил понятие метода прямоугольников и его форумлы.

<b><em>Метод прямоугольников — </em></b> <em><u>метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0. (Для формулы средних прямоугольников равен 1).

Если отрезок  является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по </u></em>

<b>1.Формуле левых прямоугольников:</b>
<b>2.Формуле правых прямоугольников:</b> 

<b>3.Формуле прямоугольников (средних):</b> 

## 8. Разобрал понятие метода трапеций и его формулы.

<b><em>Метод трапеций - </em></b> <em><u> метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.

Если отрезок [a,b] является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле:

Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования). Погрешность аппроксимации для элементарного отрезка можно оценить через максимум второй производной:


(для случаев разбиения отрезка на n частей см. составные формулы ниже). </u></em> <b>Изображение, которое дало мне более обширное понятие об этом определении: </b>
Аппроксимация функции линейной зависимостью при интегрировании методом трапеций

## 9. Расммотрел формулу Симпсона.
<b>Формула:</b>

<u><em><b>Формулой Симпсона</b> называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке <b>[a,b]</b>: </em></u>


<u><em>где ,  и  — значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине). </em></u>

## 10. Рассмотрел теорема Ньютона-Лейбинца. Сформулировал её правильно.

<b>Формула Ньютона — Лейбница, или основная теорема анализа, даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.</b>

<b>Формулировка</b>

Классическая формулировка формулы Ньютона-Лейбница имеет следующий вид.
<u><em>Если функция <b>f(x)</b> непрерывна на отрезке <b>[a,b]</b> и 
— любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство: </em></u>