# Lineární algebra 2 - DÚ sada 4
František Mrkus

## 1.

Výchozí matice $A$:

$\begin {pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$

Matici převedu do Jordanova tvaru, který se dá snadno umocnit (převedení samo bude nepochybně složitější).
Použiju postup, který je popsán v 1. úloze 10. cvičení.

Char. polynom: $-\lambda ^3 + 5 \lambda ^2 -8 \lambda + 4$, kořeny: $1,2,2$

Pro $\lambda=1$ dostávám jeden vlastní vektor: $Ker(A-1I)=span\{(-1;1;0)^T\}$.
$v_1=(-1;1;0)^T$

Pro $\lambda=2$ dostávám také jeden vlastní vektor, ale algebraická násobnost tohoto čísla je 2 - tzn. musím spočítat zobecněné vlastní vektory.

$Ker(A-2I)=span\{(1;0;1)^T\}$
$Ker((A-2I)^2)=span\{(1;0;1)^T,(0;1;0)^T\}$

Vyberu $v_3$ tak, aby ležel v $Ker((A-2I)^2)\setminus Ker(A-2I)$, a $v_2$ vypočtu jako $(A-2I)v_3$.

$v_3=(0;1;0)^T$
$v_2=(1;0;1)^T$

Stejně jako u diagonalizovatelnosti matic,sloupce matice $S$ jsou tyto vektory, a prvky na diagonále matice $J$ jsou vlastní čísla v tomtéž pořadí:

$S=\begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$
$S^{-1}=\begin {pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$
$J=\begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$

Pro umocňování Jordanovy matice mohu každou buňku umocnit zvlášť; jednotlivé prvky v těchto buňkách jsou rovny výrazu $\lambda ^{k-z} * {k \choose z}$, kde $k$ značí mocninu a $z$ značí vzdálenost (v polích matice) od diagonály. https://math.stackexchange.com/questions/326688/why-does-the-n-th-power-of-a-jordan-matrix-involve-the-binomial-coefficient

Matice $S$ a $S^{-1}$ umocňovat nemusím - jelikož $(SJS^{-1})^n=SJS^{-1}SJS^{-1}SJS^{-1}...SJS^{-1}=SJJJ...JS^{-1}$.

$A^{55}=SJ^{55}S^{-1}=
\begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}
\begin {pmatrix} 1^{55} & 0 & 0 \\ 0 & 2^{55} & 55*2^{54} \\ 0 & 0 & 2^{55}\end{pmatrix}
\begin {pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$=
\begin {pmatrix} 55*2^{54}+1 & 55*2^{54} & 2^{55}-55*2^{54}+1 \\ 2^{55}-1 & 2^{55} & 1-2^{55} \\ 55*2^{54} & 55*2^{54} & 2^{55}-55*2^{54}\end{pmatrix}$

## 2.

Předpokládám, že $A$ není symetrická matice, ale lze ji vyjádřit ve tvaru $Q\Lambda Q^T$.

Transpozicí dostávám:

$A^T = (Q\Lambda Q^T)^T = (Q^T)^T(Q \Lambda )^T= Q \Lambda^T Q^T$.
Jelikož $\Lambda$ je diagonální matice, platí, že $A = Q \Lambda Q^T = Q \Lambda ^T Q^T = A^T \implies A = A^T$, což je spor. $\square$

## 3.

Trojnásobnému char. vektoru odpovídá trojnásobné vlastní číslo. Matice $A$ po převedení do Jordanovy formy tak bude mít tvar $SJ_3(\lambda)S^{-1}$.
Matice $S$ se musí skládat z vlastních vektorů matice $A$ a sloupcový prostor matice $S$ musí být lineárně nezávislé vektory. Proto první sloupec matice $S$ je $(1,2,3)^T$ a další dva vyberu libovolně - např. $(0,1,0)^T$ a $(0,0,1)^T$.
Pro obecné vlastní číslo $\lambda$ tak matice $A$ bude mít následující tvar:

$A=SJS^{-1}=
\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 2&1&0 \\ 3&0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\lambda&1&0 \\ 0& \lambda&1 \\ 0&0&\lambda \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0&0 \\ -2&1&0 \\ -3&0&1\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}\lambda-2 & 1 & 0 \\ -7 & \lambda+2 & 1 \\ -6 & 3 & \lambda \end{pmatrix}$

## 4.

K tvaru matice: všechna čísla na diagonále jsou nulová (nemění se transpozicí, a $0=-0$).

### a)

Z tvrzení 10.13 dostávám dvě zdánlivě protichůdné informace: $C$ a $C^T$ mají stejná vlastní čísla, ale $C$ a $-C$ mají opačná vlastní čísla.

Dále však platí, že všechna imaginární vlastní čísla (pro tutéž matici) se dají uspořádat do komplexně sdružených dvojic (tvrzení 10.16) V důsledku toho bude počet vlastních čísel s imaginárními složkami sudý - a pro matice liché velikosti bude existovat alespoň jedno reálné vlastní číslo.

Je-li tedy jedním z vlastním čísel matice $C$ číslo $a+bi$, pak musí i vlastními čísly být $a-bi,-a+bi$ a $-a-bi$ (pro $a=0$ stačí pouze komplexně sdružené číslo "do páru") - tzn. pro liché rozměry bude existovat alespoň jedno nulové vlastní číslo.

Bohužel si nejsem jistý, zdali dokážu odpovědět na otázku, proč nemůže mít antisymetrická matice řádu 4 vlastní čísla např. $5+i,5-i,-5+i,-5-i$.

### b)

Determinant jakožto součin vlastních čísel (10.12) je očividně nezáporný; pro součin dvou komplexně sdružených čísel totiž platí $bi * (-bi) = b^2$, příp. $(a+bi)*(a-bi)=a^2+b^2$, tedy determinant je součin nezáporných čísel.

Může-li tak hodnota $det(D)$ nabývat nejméně $0$, pak $det(D+I)$ může nabývat hodnoty nejméně $1$ (tvrzení 10.13). Matice tak určitě bude regulární, jelikož její determinant nebude nulový.