# Matematická analýza - DÚ 4
František Mrkus

Zadání: $$\lim_{n\to \infty}[\sqrt{n}*(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1})]$$

## Řešení
Výraz v zadání rozšířím zlomkem:

$\sqrt n *(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1})*\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}$
a získám tak $\sqrt{n}*\frac{(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n-1})^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}$ $=$ $\sqrt{n}*\frac{({n+1})-({n-1})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}$ $=$ $\frac{2\sqrt n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}$.

Pro výpočet limity $L$ nyní nastavím dolní a horní hranici; zlomek ve jmenovateli převedu na dva totožné sčítance, což mi umožní zjednodušit výraz.

$L< \lim_{n\to \infty}\frac{2\sqrt n}{2 \sqrt{n+1}} = \lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt n}{ \sqrt{n+1}} = 1$

a naopak

$L> \lim_{n\to \infty}\frac{2\sqrt n}{2 \sqrt{n-1}} = \lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt n}{ \sqrt{n-1}} = 1$

tzn. $L=1$.