# Matematická analýza - DÚ do 17.4.
Přezdívka: FM
## a)
$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x^2+1}}$
### Definiční obor:
$\frac{x-1}{x^2+1}\geq 0$, tzn. $x \in \langle1,+\infty)$

### Derivace:
$f_1(x)=\sqrt{x},f_2(x)=\frac{x-1}{x^2+1}$
$f_1'(x) = \frac{1}{2}(x^{-\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$f_2'(x) = \frac{1(x^2+1)-2x(x-1)}{(x^2+1)^2}=\frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}$

$f'(x) = f_1'(f_2(x))*f_2'(x) = \frac{\sqrt{x^2+1}}{2\sqrt{x-1}}*\frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}$=
$\frac{\sqrt{x^3+x^2+x+1}}{2(x-1)}*\frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}$ - líp to asi zjednodušit nepůjde (chci-li zachovat součinový tvar).

## b)

$f(x) = \ln(\sin(e^x))$

### Definiční obor:
$\sin (e^x)\geq 0$, $2k\pi \leq e^x \leq (2k+1)\pi$, (kde je sinus nezáporný)

$x \in \bigcup_{k\in \mathbb Z}\langle\ln(2k\pi),\ln((2k+1)\pi)\rangle$

### Derivace:

$f_1(x)=\ln(x),f_2(x)=\sin(x),f_3(x)=e^x$
$f_1'(x) = \frac{1}{e'^{(\ln x)}}=\frac{1}{x}$(pravidlo o derivaci inv. funkce)
$f_2'(x) =\cos x$

$(f_2(f_3(x)))' = \cos(e^x)*e^x$ = $g(x)$
$(f_1(g(x))' = \frac{1}{\sin (e^x)}*\cos (e^x)*e^x = \frac{\cos (e^x)*e^x}{\sin (e^x)}$$=e^x \cot (e^x)=f'(x)$

## c)

$f(x) = x \cos x + \sin(2x^2)$

### Definiční obor:

$x\in \mathbb R$

### Derivace:

$f_1(x) = x \cos x$
$f_2(x) = \sin(2x^2)$

$f_1'(x) = 1 \cos x + (-x \sin x) = \cos x - x \sin x$
$f_2'(x) = \cos(2x^2)*4x$

$f'(x) = f_1'(x)+f_2'(x) = 4x(\cos 2x^2)- x \sin x + \cos x$

## d)

$f(x) = 2^x+3^x$

### Definiční obor:

$x\in \mathbb R$

### Derivace:

$f_1(x) = 2^x = e^{x\ln 2}$
$f_2(x) = 3^x = e^{x\ln 3}$

$f_{11}(x) = e^x$
$f_{12}(x) = x \ln 2$ (násobení konstantou)

$f_1'(x) = e^{x \ln 2} * (\ln 2 * 1) = 2^x * \ln 2$

$f'(x) = (2^x * \ln 2 + 3^x * \ln 3)$

## e)

$f(x) = e^{-x^2}$
### Definiční obor:

$x\in \mathbb R$

### Derivace:

$f_1(x) = e^x$
$f_2(x) = -x^2$

$f_2'(x)=-2x$

$f'(x) = e^{-x^2}*(-2x) = -\frac{2x}{e^{x^2}}$

## f)

$f(x) = \arctan(\frac{1}{x})$
### Definiční obor:

$x\in \mathbb R-\{0\}$

### Derivace:

$f_1(x) = \arctan x$
$f_2(x) = \frac{1}{x}$

Podle věty o derivaci inverzní funkce:

$f_1^{<-1>}(x) = \tan (x)$
$\tan'(x) = (\frac{\sin(x)}{\cos(x)})' = \frac{\cos(x)\cos(x)+\sin(x)\sin(x)}{\cos(x)^2} = \frac{1}{\cos(x)^2}$
$f_1'(x)=\frac{1}{\frac{1}{\cos(\arctan (x))^2}}=\cos(\arctan(x))^2 = \frac{1}{1+x^2}$

$f_2'(x) = -\frac{1}{x^2}$

$f'(x) = \frac{1}{1+(\frac{1}{x})^2}*-\frac{1}{x^2} = \frac{x^2}{x^2+1}*-\frac{1}{x^2}=-\frac{1}{x^2+1}$