# Lineární algebra 2 - společné úkoly - sada 1

## 1)

### 1.

Jedná se o diagonální matici ($1\times1$), takže determinantem je součin prvků na diagonále (tvrzení 9.3)
$det(-4)=4$.

### 2.

Také se jedná o diagonální matici; na diagonále se nachází $n$ prvků o hodnotě $-2$, a tak jejich součin je roven $(-2)^n$ (tvrzení 9.3).
$det(-2I_n)=(-2)^n$.

### 3.
Matici pomocí elementárních úprav převedu do horního trojúhelníkového tvaru (algoritmus 9.7). Přitom některé úpravy mohou změnit determinant.

$\begin{bmatrix}2 & 4 & 1\\3 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 2\end{bmatrix}$~$\begin{bmatrix}2 & 4 & 1\\0 & -4 & 2,5 \\ 0 & -1 & 1\end{bmatrix}$~$\begin{bmatrix}2 & 4 & 1\\0 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & 2,5\end{bmatrix}$~$\begin{bmatrix}2 & 4 & 1\\0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1,5\end{bmatrix}$

$\begin{vmatrix}2 & 4 & 1\\0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1,5\end{vmatrix}$$=2*(-1)*(-1,5)=3$

Při úpravách jsem jednou vyměnil dva řádky a nikdy jsem nenásobil řádek, takže tento determinant musím vynásobit $-1^{-1}$ (9.7) a dostávám:

$\begin{vmatrix}2 & 4 & 1\\3 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 2\end{vmatrix}=-3$

$4.$

Tentýž postup jako v předchozím příkladu.

$\begin{bmatrix}0 & 0 & a & b\\c & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d & 0 & 0\\ 0 & 0 & e & f\end{bmatrix}$~$\begin{bmatrix}c & 0 & 0 & 0\\0 & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b\\ 0 & 0 & e & f\end{bmatrix}$~$\begin{bmatrix}c & 0 & 0 & 0\\0 & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b\\ 0 & 0 & 0 & f-\frac{be}{a}\end{bmatrix}$(k poslednímu řádku jsem přičetl $-\frac{e}{a}$-násobek předposledního)

$\begin{vmatrix}c & 0 & 0 & 0\\0 & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b\\ 0 & 0 & 0 & f-\frac{be}{a}\end{vmatrix}$$=acdf-bcde$

Dvakrát jsem vyměnil dvojici řádků (první s druhým, druhý s třetím), a tak determinant původní matice je totožný s determinantem výsledné matice.

$\begin{vmatrix}0 & 0 & a & b\\c & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d & 0 & 0\\ 0 & 0 & e & f\end{vmatrix}$$=cd(af-be)$

### 5.
Nejprve předpokládám sudý počet řádků.
Pokud vyměním řádky $1,2,3...\frac{n}{2}$ s řádky $n,n-1,n-2...\frac{n}{2}+1$, dostanu horní trojúhelníkovou matici, jejíž determinant bude roven $1$ (součin prvků na diagonále, tvrzení 9.3).
Sudý počet výměn znamená, že determinant původní matice bude roven $1$, lichý počet výměn znamená, že determinant původní matice bude roven $-1$ (str. 206), tzn. záleží na celkovém počtu řádků. Je-li počet řádků dělitelný 4, pak je determinant roven 1, v opačném případě je roven -1.

Pro lichý počet řádků zůstane prostřední řádek beze změny, takže jej nezapočítám do celkového počtu řádků a použiji tvrzení pro sudý počet řádků.

Odpověď:
Dá-li se počet řádků vyjádřit ve tvaru $4n$ nebo $4n+1$ ($n\in \mathbb N$), pak je determinant roven $1$, jinak je roven $-1$.

## 2)

Předpokládám, že determinant matic $A,B$ budu počítat pomocí elementárních řádkových úprav (algoritmus 9.7). Změním tak matici $A$ na horní trojúhelníkovou matici matici $A'$ a matici $B$ na horní trojúhelníkovou matici matici $B'$ a zároveň znám koeficienty $k,l$, kde platí, že $det(A)=k*det(A')$ a $det(B)=l*det(B')$.

Determinant pak mohu spočítat následovně: $det(A')=\prod_{i=1}^m a'_{ii}$, atd. tzn. $det(A)det(B)=(\prod_{i=1}^m a'_{ii})*k*(\prod_{j=1}^n b'_{jj})*l$.

Nyní k levé části rovnosti: provedu-li v řádcích $1..m$ stejné úpravy jako v matici $A$, a v řádcích $m+1..m+n$ stejné úpravy jako v matici $B$, tyto úpravy se vzájemně neovlivní (jelikož se jedná o *řádkové* úpravy).

Dostanu tak matici $C=\begin{bmatrix}A' & 0 \\ 0 & B'\end{bmatrix}$, která je horní trojúhelníková (jelikož se skládá z horních trojúhelníkových matic) a determinant lze opět spočítat podle tvrzení $9.3$, tedy $det(C)=\prod_{i=1}^{m+n}c_{ii}$. Tyto prvky odpovídají "samostatně vypočítaným" prvkům matic $A'$ a $B'$ a násobím tak totožné prvky, které jsem násobil výše.
Elementární úpravy také jsou naprosto stejné, a tak produkují stejné koeficienty $k,l$.

Vzhledem k tomu, že násobím stejná čísla, rovnost musí nutně platit.

## 3)

Pro $2\times2$ matice lze snadno spočítat determinant z definice (příklad 9.2).

Podle Věty 9.17 (a věty nad ní) označím $A_i=A+(b-A_{*i})e_i^T$, tedy v původní matici nahradím $i$-tý sloupec vektorem $b$.

Soustavu napíšu maticově:

$A=\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$
$b=\begin{bmatrix}4\\4\end{bmatrix}$
$A_1=\begin{bmatrix}4 & 1 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}$
$A_2=\begin{bmatrix}1 & 4 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

Spočítám determinanty (jsem v tělese $\mathbb Z_5$):

$det(A)=1*4-2*1=4-2=2$
$det(A_1)=4*4-1*4=1-4=-3=2$
$det(A_2)=1*4-2*4=4-3=1$

Pro řešení rovnice stačí podělit determinanty:

$x=det(A_1)/det(A)=2/2=1$
$y=det(A_2)/det(A)=1/2=1*3=3$

Zkouška:
$1*1+1*3=4$
$2*1+4*3=2+2=4$

Řešením je $x=1,y=3$

## 4)

Pojmenuju: $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=A$
$adj(A)=B$.

Pro výpočet inverzní matice pomocí adjungované matice použiju determinant (důsledek 9.22):

$det(A)=ad-bc$

Prvek $B_{i,j}$ spočítám tak, že vynechám $j$-tý řádek a $i$-tý sloupec matice $A$, spočítám determinant této ořezané matice a podle součtu $i+j$ změním znaménko (lichý-záporné, sudý-kladné) (definice 9.20).

$B_{11}=|d|=d$
$B_{12}=-|b|=-b$
$B_{21}=-|c|=-c$
$B_{22}=|a|=a$

a tedy $B=\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}=adj(A)$.

Dle důsledku 9.22 pak spočítám:

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{b}{bc-ad}\\ \frac{c}{bc-ad}&\frac{a}{ad-bc}\end{bmatrix}$.