# Lineární algebra 2 DÚ - sada 8

## 1.

### 1)

Jedná se o zobrazení z $R^1$ do $R$.
Linearita násobení: $(\alpha x * y)=(x * \alpha y)=(\alpha x y) = \alpha(x * y)$.
Linearita sčítání: $((x+z)*y)=(x*y+z*y)=(x*y)+(z*y)$ (a obdobně $(x*(z+y))$).
Matice zobrazení: $\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}$

### 2)

Linearita násobení: Násobení $\alpha x$ (nebo $\alpha y$) vynásobí $\alpha$ každou složku vektoru $x$. Tím pádem $a(\alpha x,y)= \alpha x_1 y_1 + 2 \alpha x_2 y_1 + 3 \alpha x_2 y_2 = \alpha(x_1 y_1 + 2x_2 y_1 + 3 x_2 y_2) = \alpha a (x,y)$. Tentýž výsledek produkuje i $a(x,\alpha y)$, jelikož násobení je komutativní.

Linearita sčítání: $a(x+z,y)=(x_1+z_1)y_1+2(x_2 z_2)y_1+3(x_2+z_2)y_2 = x_1 y_1 + z_1 y_1 + 2x_2y_2 + 2z_2y_1 + 3x_2y_2 + 3z_2y_2 = a(x,y)+a(z,y)$. Obdobně $a(x,y+z)=a(x,y)+a(z,y)$

Matice zobrazení: $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ (koeficienty odpovídající složkám $x$ po řádcích, $y$ po sloupcích)

### 3)

Pozorování: $x,y$ jsou jakési charakteristické vektory jednotlivých přirozených čísel $1,2\dots n$, jelikož $x$ a $y$ ve složkách nabývají pouze hodnot $0$ a $1$.
Předpokládám, že $x,y,z \in \mathbb Z_n^2$ a $\alpha \in \mathbb Z^2$ - a veškeré ostatní výpočty probíhají v celých číslech.

Pro linearitu násobení musím uvažovat $\alpha \in \mathbb Z^2$. Jelikož $\alpha$ může nabývat pouze dvou různých hodnot. Pro $\alpha = 0$ dostávám $b(\alpha x,y) = b(0,y)=0$ a pro \alpha = 1$ dostávám $b(\alpha x,y)=b(x,y)=\alpha b(x,y)$

Linearita sčítání je opět zaručena distributivitou násobení: $(x_1+z_1+2(x_2+z_2)+\dots +n(x_n+z_n))*(y_1+2y_2+\dots +ny_n$
$=(x_1+2x_2+\dots +nx_n)*(y_1+2y_2+\dots +ny_n)+(z_1+2z_2+\dots +nz_n)*(y_1+2y_2+\dots +ny_n)$

Matice zobrazení:

$\begin{bmatrix}i*j & \ldots & i*j \\ \ \vdots & & \vdots \\ i*j & \ldots & i*j \end{bmatrix}$

## 2.

Matice kvadratické formy vůči kanonické bázi je následující:

$\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -3 & 9 \end{pmatrix}$ (na pořadí násobení u $x_1x_2$ nezáleží, ale matice musí být symetrická - proto jsem tento koeficient rozdělil na poloviny)

Dále musím zkonstruovat matici přechodu z $B$ do kanonické báze, což je $P=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
Výpočtem $P^TAP$ dostávám $C=\begin{pmatrix} 25 & 10 \\ 10 & 4 \end{pmatrix}$. Dle věty 12.12 je toto matice kvadratické formy v této bázi.

Výsledek ověřím tak, že spočítám souřadnice vektoru $x$ vůči bázi $B$:

$\alpha_1(1;2)^T+\alpha_2(1;1)^T=(x_1;x_2)^T$ (což vede na jednoduchou sestavu dvou rovnic)
$[x]_B = ((x_2-x_1),(2x_1-x_2))^T$

$[x]_B^TC[x]_B=x_1^2-6x_1x_2+9x_2^2$

## 3.

Diagonální prvek a^Tb_{ii} je roven (podle def. maticového násobení) $\langle A{i*},B_{i*} \rangle$, což dává $trace(A^TB) = \sum_{i=1}^n \langle A{i*},B_{i*} \rangle$.

Nyní je potřeba uvážit, jak se změní stopa při násobení nebo sčítání.
Při vynásobení matice skalárem $\alpha$ se každý sloupec změní samostatně (nezávisle na ostatních), takže dostanu výraz $\sum_{i=1}^n \langle \alpha*A_{i*},B_{i*} \rangle$. Jelikož je skalární součin bilineární, mohu psát (nezávisle na tom, kterou matici jsem násobil) $\sum_{i=1}^n (\alpha* \langle A{i*},B_{i*} \rangle)$, a díky roznásobení je toto rovno $\alpha* \sum_{i=1}^n \langle A_{i*},B_{i*} \rangle$.
Sčitané matice také mohu rozložit na jednotlivé sloupce, takže $trace(A^T(B+C)) =\sum_{i=1}^n \langle A_{i*},B_{i*}+C_{i*}\rangle=\sum_{i=1}^n (\langle A_{i*},B_{i*}\rangle +\langle A_{i*},C_{i*}\rangle)$, z čehož je opět vidět linearita.

Tato forma je symetrická díky tomu, že při násobení provádím skalární součin i-tého sloupce s i-tým sloupcem (pro diagonální prvky). Stopa u běžného maticového násobení $AB$ by neplatila, jelikož zde násobím prvky v i-tém řádku $A$ a sloupci $B$.

## 4.

Mějme $A$ jako matici bilineární formy v kanonické bázi a $K$ v jiné (bázi $B$). Poté platí (věta 12.12): $S^TAS=K$. Sloupce $S$ jsou vektory báze $B$, takže $S$ je "jen" regulární.
Dále nechť $A$ je diagonální matice (s jednoznačně určenými vlastními čísly). Pokud by $S^T \neq S^{-1}$, pak $S^TAS$ není spektrální rozklad $K$, a matice si tak nejsou podobné, mají tak i jiná vlastní čísla.