# Lineární algebra - DÚ 2 - Norma

František Mrkus

## 1)
Ověřím jednotlivé podmínky:

1. $||x||\geq 0$: Sčítám dvě absolutní hodnoty, takže výsledek je nezáporný. Pro nulovou normu: $x_2=0$ (z druhého sčítance) a $x_1=x_2$ (z prvního), tedy pouze nulový vektor má nulovou normu.
2. $||\alpha x||=|\alpha|*||x||$: Levá strana: $$|\alpha x_1-\alpha x_2|+|\alpha x_2|$$ pravá strana: $$|\alpha|(|x_1-x_2|+|x_2|)$$. Mohu $\alpha$ roznásobit výrazy v absolutní hodnotě, jelikož násobím nezáporným číslem, to se bude rovnat levé straně.
3. $||x+y||\leq||x||+||y||$: Levá strana: $$|x_1+y_1-x_2-y_2|+|x_2+y_2|$$, pravá strana: $$|x_1-x_2|+|x_2|+|y_1-y_2|+|y_2|$$. Výrazy z levé strany (v absolutní hodnotě) mohu rozdělit na výrazy z pravé strany, např. $|x_2+y_2|\leq|x_2|+|y_2|$ Tím se hodnota levé strany nezvýší (trojúh. nerovnost) a na obou stranách pak budou vystupovat stejné výrazy.

Všechny podmínky jsou splěny, může se tak jednat o normu.

## 2)

### AP, HP:
Aritmetický ani harmonický průměr nemohou pracovat nad zápornými hodnotami (podm. 1), resp. nelze je násobit libovolným skalárem z $\mathbb R$ (podm.2).

### QP

1. $\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+...x_n^2}{n}}\geq 0$. Odmocnina je nezáporná, a jednotlivé sčítance rovněž, takže pro nulový výsledek musí být všechny nulové.
2. $\alpha \sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+...x_n^2}{n}} =$ $\sqrt{\frac{\alpha^2(x_1^2+x_2^2+...x_n^2)}{n}}$. Jelikož $\sqrt \alpha^2=|\alpha|$, rovnost platí.
3. $$||x+y||\leq ||x||+||y||$$Levá strana: $\sqrt{\frac{(x_1+y_1)^2+(x_2+y_2)^2}{2}} =$ $$=\frac{\sqrt{2x_1^2+2x_2^2+2y_1^2+2y_2^2+4x_1y_1+4x_2y_2}}{2}$$Pravá strana: $\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2}{2}}+\sqrt{\frac{y_1^2+y_2^2}{2}}=$$$=\frac{\sqrt{2x_1^2+2x_2^2}+\sqrt{2y_1^2+2y_2^2}}{2}$$ Dalšími úpravami se dostávám k: $$4x_1y_1+4x_2y_2\leq 4\sqrt {\sum_{i,j\in {1,2}}x_i^2y_j^2}$$, což zřejmě platí (na pravé straně přebývají dvě odmocniny).

### GP

Nefunguje třetí podmínka:

$\sqrt[n]{(x_1+y_1)(x_2+y_2)...}\leq \sqrt[n]{x_1x_2...}+\sqrt[n]{y_1y_2...}$ - stačí najít protipříklad (já jsem použil Desmos).

Tzn. pouze kvadratický průměr je normou.

## 3)

Z $\triangle$ nerovnosti plyne: $||x||=||x-y+y||\leq ||x-y||+||y||$
a tedy $||x||-||y||\leq ||x-y||$

## 4)

Pro p-normy toto tvrzení platí z jejich vyjádření, jelikož každá složka vektoru je nejprve absolutně zhodnocena (a poté umocněna).
Pro jiné normy mohu využít druhou vlastnost:
$||-x_1-x_2-x_3...||=|-1|||x_1+x_2+x_3...||=||x_1+x_2+x_3...||$, takže určitě bude platit i pro vektory, kde jsou všechny složky záporné (nebo kladné).
Dál jsem se "čistě matematicky" nedostal. Intuitivně by však změna orientace vektoru v několika složkách neměla mít vliv na celkovou "délku" vektoru - oba tyto vektory budou zasahovat do stejné jednotkové kružnice. Z toho usuzuji, že $||x||= || |x| ||$ platí pro každou normu.

## 5)

### Regularita

Jádro matice nemůže být nenulové, neboť by pak nenulový vektor ($||x||>0$)byl zobrazen na nulový vektor ($||Ax||=0$).

### Grupa

1. (neutrální prvek) jednotková matice je isometrií
2. (inverzní prvek) platí regularita, každá matice tedy má svou inverzní matici; $||x||=||Ax||=||y||=||A^{-1}y||=||x||$
3. (asociativita) násobení matic je samo o sobě asociativní
4. (uzavřenost) pokud $||Ax||=||y||=||By||=||z||$, pak $(AB)x=z$, tedy matice $AB$ také zachovává normu.

### Isometrie pro 2-normu:

Ze standardního skalárního součinu vyplývá, že $x^Tx=(Ax)^TAx=x^TA^TAx$. Pro rovnost tak musí platit $A^TA=I$, což také znamená $A^T=A^{-1}$ (tzn. ortogonální matice).

Po řádcích tak $(a,b;b,-a)$ nebo $(a,-b;b,a)$, kde navíc $a^2+b^2=1$.

### Isometrie pro 1-normu:

Jedná se o součtovou normu, takže isometrií budou všechny matice, které "jen" přehazují pořadí složek (permutační matice - právě jedna jednička v řádku/sloupci, jinak nula), příp. některou ze složek vynásobí $-1$ (tzn. jakákoli jednička v permutační matici může být záporná.)

Po řádcích je to matice $(a,b;b,a)$ kde $|a|=0$ nebo $|a|=1$ a $|b|=1-a$

### Isometrie pro $\infty$-normu:

Určitě to budou ty stejné jako pro 1-normu, žádné další však neznám. Jediný zdroj, který jsem nalezl, je tento. https://math.stackexchange.com/questions/2580385/isometries-of-mathbb-r2-with-maximum-norm