# Matematická analýza - DÚ do 27.3.
František Mrkus

## 1.

Zadání: $lim_{n\to\infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{n^2+1}$

Řešení: Odmocnina z kladného čísla větší než bude vždy kladné číslo větší než 1. Proto odhadnu limitu $L=1$ a z definice:

$|\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{n^2+1}-1|<\varepsilon$
Zde bude výraz v absolutní hodnotě kladný, takže mohu přepsat:
$\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{n^2+1}<\varepsilon +1$;
${n^2+1}<(1+\varepsilon)^n$;
Jelikož $\varepsilon >0$, budou obě posloupnosti rostoucí neomezené a exponenciální posloupnost začne být od určitého $n_0 \in \mathbb N$ vyšší než polynomiální, což skutečně odpovídá dané nerovnosti.

Odpověď: Limita je rovna $1$.

## 2.
Zadání: limita ($a_1=1;a_n+1=\frac{a_n^2}{4}+1$)

Řešení:
Posloupnost je rostoucí, což vyplývá z řešení nerovnice $a_{n+1}>a_n$:
$\frac{x^2}{4}+1>x$ a řešením jsou všechna reálná čísla kromě $2$.
To také napovídá, že $2$ by mohla být horní závora. Skutečně, platí-li, že $a_n+1>2$, pak také $-2<a_n>2$, což však není možné, vzhledem k tomu, že $a_1 =1$.
Dále, vzhledem k definici limity, $lim_{n \to \infty}(a_n)=lim_{n \to \infty}(a_{n+1})$ (limita posunuté posloupnosti).
Označím tak limitu jako $L$ a počítám:
$lim_{n \to \infty}a_n=L=lim_{n \to \infty}a_{n+1}=lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{4}+1=1+\frac{L^2}{4}$
(značení pro limitu jsem odstranil, protože konstanty se nemění (VoAL) a limitu pro $a_n$ jsem nahradil $L$)

$L=\frac{L^2}{4}+1$
$0=L^2-4L+4$
$(L-2)(L-2)=0$
$L=2$

Odpověď: Hledaná limita je rovna $2$.