# Lineární algebra 2 - DÚ 1 - Skalární součin
## František Mrkus

Nebudu opisovat zadání
## 1)

Ověřím postupně 4 podmínky:

1. $\langle x,x \rangle \geq 0$: pro $\langle x,x \rangle$ dostávám $5x_1 ^2-4x_1 x_2 + 3x_2 ^2$. Zde, pokud zvolím $x_2$ jako konstantu a řeším kvadratickou nerovnici (pro $x_1$), diskriminant bude roven $16x_2 ^2 - 60 x_2 ^2$. Takový výraz bude vždy nekladný, a tak výraz buďto bude kladný pro libovolné $x_1$ nebo nula bude dvojnásobným kořenem (což je případ, kdy skalární součin je roven nule). Nikdy však nebude výraz záporný. Obdobně v případě, kdy si zvolím $x_1$ jako konstantu a řeším nerovnici pro $x_2$.
2. $\langle x+z,y\rangle = \langle x,y\rangle + \langle z,y\rangle$. Levá strana: $5(x_1+z_1)y_1-2(x_1+z_1)y_2-2(x_2+z_2)y_1+3(x_2+z_2)y_2$. Pravá strana: $5x_1 y_1-2x_1 y_2 -2 x_2 y_1 +3x_2 y_2 + 5z_1 y_1-2z_1 y_2 -2 z_2 y_1 +3z_2 y_2$. Mělo by být vidět, že se výrazy rovnají (po roznásobení).
3. $\langle \alpha*x,y\rangle = \alpha* \langle x,y\rangle$. Nebudu rozepisovat; na levé straně se bude násobit \alpha každý člen právě jednou (protože se v každém členu vyskytuje právě jedno $x_1$ nebo $x_2$), na pravé straně taktéž - vyplývá z distribuce násobení.
4. $\langle y,x \rangle = \langle x,y \rangle$. V rozepsání skal.součinu se budou lišit pouze 2. a 3. člen, které však mohu bez obtíží prohodit.

$\langle (1,2),(2,5) \rangle = 5*1*2 - 2*1*5-2*2*2+3*2*5=$
$= 10-10-8+30=22$

$||x|| = \sqrt{\langle x,x \rangle} = \sqrt{5*1^2-4*1*2+3*2^2} = \sqrt{5-8+12} = 3$
vzdálenost = norma rozdílu:
$||x-y|| = ||(-1,-3|| = \sqrt{5*1^2-4*1*3+3*3^2} =$
$=\sqrt{5-12+27}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

## 2)

$\langle A,B \rangle = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ij}$
Opět ověřím jednotlivé podmínky pro skalární součin:

1. $\langle A,A \rangle = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a^2_{ij}$ - nezáporné
2. $\langle A+C,B \rangle = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n (a_{ij}+c_{ij})b_{ij}=$$=\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ij}+\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n c_{ij}b_{ij} = \langle A,B \rangle + \langle C,B \rangle$
3. $\langle \alpha A,B \rangle = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \alpha a_{ij}b_{ij}$ $=\alpha \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ij}= \alpha \langle A,B \rangle$
4. $\langle B,A \rangle = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n b_{ij}a_{ij}$

Ano, jedná se o skalární součin.

## 3)

V zásadě ne, jelikož linerání zobrazení je myšleno ve formě jedna proměnná $\to$ jedna proměnná. Nicméně místo abych přemýšlel o zobrazení "skalární součin", mohu uvažovat o zobrazení "skalární součin s vektorem $w$" (tzn. vektor předepisující dané zobrazení), tzn. $f(x) = \langle x,w \rangle$.

Pro lineární zobrazení musí platit: 1. $f(x_1+x_2) = f(x_1)+f(x_2)$ 2. $f(\alpha x) = \alpha f(x)$.

1. $\langle x_1+x_2,w \rangle = \langle x_1,w\rangle+\langle x_2,w\rangle$
2. $\langle \alpha x,w \rangle = \alpha \langle x,w \rangle$

což platí, takže v tomto případě by se mohlo jednat o lineární zobrazení (v reálných číslech navíc toto platí i pro druhou složku, takže předepisující vektor může být i první složka).

## 4)

1. $cos \alpha = \frac{\langle x,y \rangle}{||x||*||y||} = \frac{0+0-1}{1*\sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}} = -cos \frac{\pi}{4} = cos \frac{3 \pi}{4}$. Úhel mezi vektory je tak $\frac{3 \pi}{4}$.
2. Pro jednotkovou krychli je vektor úhlopříčky $(1,1,1)$ a pro úhel mezi podstavou musím zjistit projekci vektoru na podstavu. Geometricky je to očividné, algebraicky - podstava má 2D kanonickou bázi, takže výsledný vektor se bude rovnat $(1,1,0)$. Nyní již mohu počítat: $cos \alpha = \frac{\langle x,y \rangle}{||x||*||y||} = \frac{1+1+0}{\sqrt{3}*\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$, takže $\alpha \approx 0.62$.

## 5)

Při násobení matic je prvek na pozici $i,j$ výsledkem standardního skal. součinu $i$-tého řádku levé matice a $j$-tého sloupce pravé matice.
Jelikož $AA^{-1} = I$, tato matice má všude nuly s výjimkou prvků, kde $i=j$ (což je vyloučeno zadáním). Pokud je skalární součin roven nule, pak jsou vektory kolmé, což je věc, kterou jsem chtěl dokázat.

## 6)

Zvolím vektory $(1,2)$ a $(2,3)$ jako ortogonální bázi - k tomu však musím upravit skalární součin. Ten bude pak mít tvar $\langle x,y \rangle = [x]_B [y]^T_B$ . Souřadnice $a,b$ vzhledem k bázi vypočítám následovně:

$1a+2b = x_1$
$2a+3b = x_2$

a dostávám $a = 3x_1+2x_2; b=2x_1-x_2$.
Nakonec musím vynásobit (tedy provést standardní skalární součin) $(-3x_1+2x_2,2x_1-x_2)\times (-3y_1+2y_2,2y_1-y_2)=$ $13x_1 y_1 -8x_1 y_2 -8x_2 y_1 +5x_2 y_2$.

(šel jsem na to podle toho, co je ve skriptech, jestli je jednodušší postup, rád ho použiju, u násobení jsem už musel použít kalkulačku)