# Lineární algebra 2 - Společné DÚ, sada 5

## 1)

Pravděpodobnosti zapíšu do matice následovně: 1. sloupec odpovídá "dnes slunečno", 1. řádek odpovídá "zítra slunečno", 2. sloupec odpovídá "dnes deštivo" a 2. řádek odpovídá "zítra deštivo":

$P=\begin{pmatrix}0,8 & 0,6 \\ 0,2 & 0,4 \end{pmatrix}$

Je-li dnes slunečno, pak vektor stavů je $s=(1;0)^T$(tedy 100% šance na slunečno v momentální okamžik). Za $n$ dní bude vektor stavů roven $P^ns$, což (z definice maticového násobení) v tomto případě odpovídá prvnímu řádku matice $P^n$.

### a)

Pro data za dva dny (pozítří): $P^2 = \begin{pmatrix}0,76 & 0,72 \\ 0,24 & 0,28 \end{pmatrix}$, tzn. pravděpodobnost na slunečno pozítří je $76\,\%$

Tento výsledek navíc odpovídá součinu $0,8 * 0,8 + 0,2 * 0,6$, což je součet pravděpodobností událostí (bude slunečno a bude slunečno + bude deštivo a bude slunečno), které vyústí v slunečný den pozítří.

### b)

Pro limitní rozložení matici diagonalizuji: jedno z vlastních čísel bude $1$, a vzhledem ke stopě rovné $1,2$ bude druhé vlastní číslo $0,2$ (ověřím výpočtem determinantu).

Vlastní vektory:

$P-0,2I=\begin{pmatrix}0,6 & 0,6 \\ 0,2 & 0,2 \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \implies v_1=(1;-1)^T$

$P-1I=\begin{pmatrix}-0,2 & 0,6 \\ 0,2 & -0,6 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}-0,2 & 0,6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}-1 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\implies v_2=(3;1)^T$

$P=SDS^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-0,25 & 0,75 \\ 0,25 & 0,25 \end{pmatrix}$

Limitní chování odpovídá mocnině matice $P$ jdoucí k nekonečnu, tzn.:

$lim(n \to \infty) P^n = lim(n \to \infty)SD^nS^{-1} =lim(n \to \infty) \begin{pmatrix}3 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,2^n & 0 \\ 0 & 1^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-0,25 & 0,75 \\ 0,25 & 0,25 \end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}3 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-0,25 & 0,75 \\ 0,25 & 0,25 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,75 & 0,75 \\ 0,25 & 0,25 \end{pmatrix}$

tedy pravděpodobnost, že za dlouhou dobu v nějaký konkrétní den bude slunečno, je $75$ procent, kdežto pravděpodobnost deště je $25$ procent, a tak bude 3x více slunečných dnů.

## 2.

Brouk může mít dva stavy - živý a mrtvý. Matice tak vypadají následujícím způsobem (výchozí stavy jsou podle sloupce v pořadí živý/mrtvý):

$P_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$

Živý brouk má šanci $\frac{1}{2}$ přežít a $\frac{1}{2}$ umřít. Mrtvý brouk vždy zůstane mrtvý.

$P_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{2}{3} & 1 \end{pmatrix}$

$P_3 = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Přechod reprezentuji násobením maticí zleva, celkový přechod tak bude součinem (=složením zobrazení) jednotlivých matic.

$P=P_3P_2P_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Za tři roky se tak narodí tolik brouků, kolik jich bylo na začátku, a k mrtvým brokům se připočtou ti, kteří byli živí na začátku.

Výchozí stav: $s=\begin{pmatrix} 3000 \\ 0 \end{pmatrix}$

První rok: $s_1=P_1s = \begin{pmatrix} 1500 \\ 1500 \end{pmatrix}$

Druhý rok: $s_2 = P_2s_1=\begin{pmatrix} 500 \\ 2500 \end{pmatrix}$

Třetí rok: $s_3 = P_3s_2=\begin{pmatrix} 3000 \\ 3000 \end{pmatrix}$

Šestý rok: $s_6=Ps_3=\begin{pmatrix} 3000 \\ 6000 \end{pmatrix}$

Populace brouků by tak měla zůstat konstantní (pokud brouků zůstala vždy přesně polovina/třetina a nedošlo by k problémům s celočíselnou aritmetikou - tzn. 3000 je vyhovující číslo, ale ne třeba 4).

## 3.

Přímo ze znění věty (střed k-tého disku je diagonální prvek k-tého řádku, poloměr k-tého disku je součet abs. hodnot nediagonálních prvků v k-tém řádku):

Řádek 1: $\lambda_1$ leží v kruhu se středem $4$ a poloměrem $|0|+|2|=2$
Řádek 2: $\lambda_2$ leží v kruhu se středem $8$ a poloměrem $|-2|+|2|=4$
Řádek 3: $\lambda_3$ leží v kruhu se středem $-4$ a poloměrem $|0|+|-2|=2$

Jelikož se třetí kruh s žádným s ostatních neprotíná, bude vlastní číslo ležet v tomto kruhu a bude určitě záporné.

Pokud by mělo nějakou imaginární část, muselo by být komplexně sdružené s dalším vlastním číslem (a také by leželo v tomto kruhu). To však není možné, a proto je toto vlastní číslo reálné.