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# System prepended metadata

title: 2021G1

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# 2021 G1
令 $E=\vec{AD}\cap\odot{APQ}\neq A$

## Claim 1: E-B-R 共線
$$\angle QAC=\angle QDC=\angle APQ$$
因此 $\overline{AC}$ 切 $\odot{APQ}$ 於 A $\Rightarrow\overline{AC}^2=\overline{CR}\cdot\overline{CP}=\overline{BC}^2$
所以 $\angle CBR=\angle CPB=\angle RPA=\angle REA$，由於 $\overline{AD}\parallel\overline{BC}$，所以 E-B-R 共線
我們得到 $\overleftrightarrow{ER}=\overleftrightarrow{BR}$

## Claim 2: $\overleftrightarrow{CD}$、$\overleftrightarrow{ER}$、$\overleftrightarrow{AQ}$ 共點
令 $\overleftrightarrow{CD}\cap\overleftrightarrow{ER}=X$
$$\pi-\angle RCD=\angle PCD=\angle APC=\angle APR=\angle AER=\angle RED$$ 
因此 CDER 共圓 $\Rightarrow\overline{XC}\cdot\overline{XD}=\overline{XR}\cdot\overline{XE}$
同時 $\overline{XC}\cdot\overline{XD}$ 是 X 對 $\odot{ACD}$ 的冪，$\overline{XR}\cdot\overline{XE}$ 是 X 對 $\odot{APR}$ 的冪，因此 X 位於 $\odot{APQ}$ 和 $\odot{ACD}$ 的根軸上。而兩圓根軸是 $\overleftrightarrow{AR}$ ，因此 X 位在 $\overleftrightarrow{AR}$ 上，得證