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# System prepended metadata

title: Survey of the Elementary Principles

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# Survey of the Elementary Principles
## Mechanics of a particle
位置向量：$\vec{r}$
速度：$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}$ 
加速度：$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$
動量：$\vec{p}=m\vec{v}$
力：牛頓第二定律：$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$，（質量固定：$\vec{F}=m\vec{a}$）

因此我們有第一個守恆律：
**動量守恆：假設合力為0，則動量不變**
前提：這些都是在慣性坐標系裡。

角動量：$\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}$
力矩：$\vec{\tau}=\frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}+\vec{r}\times\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{r}\times\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{r}\times\vec{F}$
因此我們有第二個守恆律：
**動量守恆：假設合力矩為0，則角動量不變**

外力從 1 到 2 所做的功為：$W_{12}=\int_{1}^{2}\vec{F}\cdot d\vec{s}$
同時我們有：
$$\int\vec{F}\cdot d\vec{s}=\int\frac{d\vec{p}}{dt}\cdot d\vec{s}=\int md\vec{v}\cdot \vec{v}=\frac{m}{2}\int d(v^2)$$我們得到了動能：$T=\frac{mv^2}{2}$，因此$W_{12}=T_2-T_1$。

如果 $\vec{F}$ 是保守力，也就是 $\oint\vec{F}\cdot d\vec{s}=0$，則一定存在一個純量 $V(\vec{r})$ 使得 $\vec{F}=-\nabla V$，因此我們知道：
$$W_{12}=\int_{1}^{2}\vec{F}\cdot d\vec{s}=V_1-V_2$$可以發現 $V_1+T_1=V_2+T_2$，這就是最後一個守恆式。
**能量守恆：如果力是保守的，則 T+V 守恆。**

## Mechanics of a System of particles
多質點系統的話，要分外力還是內力。考慮第 i 個質點。根據牛頓第二定律：
$$\sum_j \vec{F}_{ji}+\vec{F}_i^{(e)}=\dot{\vec{p}_i}$$其中 $\vec{F}_{ji}$ 代表 j 作用在 i 上的力，根據牛頓第三定律： $\vec{F}_{ji}=-\vec{F}_{ij}$，所以當我們把所有的質點加起來的話，會得到：
$$\frac{d^2}{dt^2}(\sum_i m_i\vec{r}_i)=\sum_i \vec{F}_i^{(e)}+\sum_{i,j} \vec{F}_{ji}=\sum_i \vec{F}_i^{(e)}$$令 $\vec{R}$ 是系統質心，M 是總質量，可以知道 $M\frac{d^2\vec{R}}{dt^2}=\sum_i \vec{F}_i^{(e)}$。
而線動量為：$\vec{P}=\sum_i m_i\frac{d\vec{r}_i}{dt}=M\frac{d\vec{R}}{dt}$，因此我們有動量守恆：
**如果系統總外力為0，則系統總動量守恆。**

考慮力矩的話：
$$\sum_i (\vec{r}_i\times \dot{\vec{p}}_i)=\sum_i \frac{d}{dt}(\vec{r}_i\times \vec{p}_i)=\sum_i (\vec{r}_i\times \vec{F}_i^{(e)})+\sum_{i,j} (\vec{r}_i\times \vec{F}_{ji})$$同時我們發現：$\vec{r}_i\times \vec{F}_{ji}+\vec{r}_j\times \vec{F}_{ij}=\vec{r}_{ij}\times \vec{F}_{ji}$
由於四大作用力的作用方向都是在兩質點連接線上，所以最後那一項會是 0。
我們由此可知：$$\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{N}^{(e)}$$並得到角動量守恆：
**如果總力矩為0，則系統角動量守恆。**
注意：這些定理在電磁學可能不成立，所以我們要知道，在那種情況，我們還需考慮電磁場的動量與角動量。

事實上，角動量與質心位置有關，我們令 $\vec{r}_i=\vec{r}'_{i}+\vec{R}$、$\vec{v}_i=\vec{v}'_{i}+\vec{v}$（v 是 r 對時間的微分）。
代入前式$$\sum_i (\vec{r}_i\times \vec{p}_i)=\sum_i (\vec{r}_i\times m_i\vec{v}_i)=\sum_i (\vec{r}'_{i}\times m_i \vec{v}'_i)+\sum_i (\vec{R}\times m_i \vec{v}'_i)+\sum_i (\vec{r}'_{i}\times m_i \vec{v})+\sum_i (\vec{R}\times M \vec{v})$$由於$\sum_i m_i\vec{r}'_{i}=0$，所以第二第三項都是 0。最後得到：$\vec{L}=\vec{R}\times M\vec{v}+\sum_i (\vec{r}'_{i}\times m_i \vec{v}'_i)$

最後考慮能量：一個系統從狀態 1 移到狀態 2。
$$\sum_i \int_1^2 \vec{F_i}\cdot d\vec{s}_i=\sum_i \int_1^2 \vec{F_i}^{(e)}\cdot d\vec{s}_i+\sum_{i,j} \int_1^2 \vec{F_{ji}}\cdot d\vec{s}_i$$同時$$\sum_i \int_1^2 \vec{F_i}\cdot d\vec{s}_i=\sum_i \int_1^2  d(\frac{1}{2}m_iv_i^2)$$因此 $T=\sum_i \frac{1}{2}m_iv_i^2$，以質心角度來看的話
$$T=\sum_i \frac{1}{2}m_iv_i^2=\sum_i \frac{1}{2}m_i(\vec{v}'_i+\vec{v})^2=\sum_i \frac{1}{2}m_i(v_i'^2+2\vec{v}'_i\cdot\vec{v}+v^2)$$由於 $\sum_i m_i\vec{v}'_i=0$，因此 $T=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}\sum_im_iv_i^2$。他跟角動量一樣都被分成兩個部分：質心與非質心。
位能的部分（假設都是保守力）：$$\sum_i \int_1^2 \vec{F_i}^{(e)}\cdot d\vec{s}_i=-\sum_i \int_1^2 \nabla V_i\cdot d\vec{s}_i=-\sum_i V_i\mid^2_1$$$$\sum_i \int_1^2 \vec{F_{ji}}\cdot d\vec{s}_i=-\sum_{i,j} \int_1^2 \nabla_i V_{ij}(|\vec{r}_i-\vec{r}_j|)\cdot d\vec{s}_i=-\frac{1}{2}\sum_{i,j} \int_1^2 \nabla_{ij} V_{ij}\cdot d\vec{r}_{ij}=-\frac{1}{2}\sum_{i,j}V_{ij}$$因此我們知道位能：$V=\sum_i V_i+\frac{1}{2}\sum_{i,j}V_{ij}$。這樣可以得到類似的能量守恆。

## Constraints
有時候所有的質點位置必須符合 $f(\vec{r}_1,\vec{r}_2,...,t)=0$ 的式子，所以如果我們要計算運動方程式的話，必須考量這部分。
$f(\vec{r}_1,\vec{r}_2,...,t)=0$ 的稱作完整約束
$f(\vec{r}_1,\vec{r}_2,...,t)\geq0$ 的稱作不完整約束
我們通常會遇到兩種問題，一種是 $\vec{r}_i$ 並不是獨立的，第二種是我們其實很難計算約束力。
第一種問題就代入廣義座標就好，而這些座標不一定要正交。假設你有 n 個粒子，有 k 條式子，就可以設 3n-k 個廣義座標。
第二個問題就比較麻煩，需要用到拉格朗日乘數。

好啦，這章甚麼都沒講。

## D'Alembert's Principle and Lagrange's Equation
在靜力平衡的時候，$\vec{F}_i=0$。因此如果我們給整個系統加上一個虛位移 $\delta \vec{r}_i$。則 $\sum_i \vec{F}_i \cdot \delta \vec{r}_i=0$。我們也可以知道每個質點受到的力可以被分為外力 $\vec{F}_i^{(a)}$ 還有約束力 $\vec{f}_i$。如果每個質點都是完整約束的話，且沒有摩擦力等等的問題，我們會發現 $\sum_i \vec{f}_i\cdot \delta \vec{r}_i=0$，因為虛位移與約束力垂直，因此，$\sum_i \vec{F}_i^{(a)}\cdot \delta \vec{r}_i=0$，這就是虛功原理。
如果不是靜力平衡的話，則 $F_i=\dot{\vec{p}}_i$，且 $\sum_i (\vec{F}_i-\dot{\vec{p}}_i) \cdot \delta \vec{r}_i=0$，同時，在前面也提到，$\sum_i \vec{f}_i\cdot \delta \vec{r}_i=0$，因此，我們有：
**D'Alembert's principle: $\sum_i (\vec{F}_i^{(a)}-\dot{\vec{p}}_i) \cdot \delta \vec{r}_i=0$**

這時候，我們可以把上標的 (a) 拿掉了
倘若我們把座標都改成廣義座標的話，會有 $$\delta\vec{r}_i=\sum_j \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_j}\delta q_j$$我們可以將這個式子代入 D'Alembert's principle，並定義廣義力 $Q_j=\sum_i \vec{F}_i\cdot\frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_j}$。
因此 $\sum_{i} \vec{F}_i \cdot \delta \vec{r}_i=\sum_{j} \vec{Q}_j \delta \vec{q}_j$
那我們考慮
$$\sum_i \dot{\vec{p}}_i\cdot\delta\vec{r}_i=\sum_i m_i\ddot{\vec{r}}_i\cdot\delta\vec{r}_i=\sum_{i,j} m_i\ddot{\vec{r}}_i\cdot\frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_j}\delta q_j$$$$\sum_{i} m_i\ddot{\vec{r}}_i\cdot\frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_j}=\sum_{i} \frac{d}{dt}(m_i\dot{\vec{r}}_i\cdot\frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_j})-m_i\dot{\vec{r}}_i\cdot\frac{\partial \dot{\vec{r}}_i}{\partial q_j}$$同時我們從 $\frac{d\vec{r}_i}{dt}=\sum_j \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_j}\dot{q}_j+\frac{\partial \vec{r}_i}{\partial t}$ 可知：$\frac{\partial \dot{\vec{r}}_i}{\partial \dot{q}_j}=\frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_j}$
因此
$$\sum_{i} m_i\ddot{\vec{r}}_i\cdot\frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_j}=\sum_{i} \frac{d}{dt}(m_i\dot{\vec{r}}_i\cdot\frac{\partial \dot{\vec{r}}_i}{\partial \dot{q}_j})-m_i\dot{\vec{r}}_i\cdot\frac{\partial \dot{\vec{r}}_i}{\partial q_j}=\sum_{i} \frac{d}{dt}(\frac{\partial (\frac{1}{2}m_i\dot{\vec{r}}_i^2)}{\partial \dot{q}_j})-\frac{\partial (\frac{1}{2}m_i\dot{\vec{r}}_i^2)}{\partial q_j}$$就會發現
$$\sum_j(\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j})-\frac{\partial T}{\partial q_j}-Q_j)\delta q_j=0$$我們把 $\delta q_j$ 去掉，得到 $$\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j})-\frac{\partial T}{\partial q_j}-Q_j=0$$最後知道假設 F 是保守力，則 
$$Q_j=\sum_i \vec{F}_i\cdot\frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_j}=-\sum_i \nabla_i V\cdot\frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_j}=-\frac{\partial V}{\partial q_j}$$得到
$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j})-\frac{\partial (T-V)}{\partial q_j}=0$$且由於 V 不顯含於時間，則我們令 L=T-V，得到
$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j})-\frac{\partial L}{\partial q_j}=0$$**這就是 Lagrange's equation**

## Velocity-dependent Potentials and the Dissipation Function
假設有一個 $U(q_j,\dot{q}_j)$ 使得
$$Q_j=-\frac{\partial U}{\partial q_j}+\frac{d}{dt}(\frac{\partial U}{\partial \dot{q}_j})$$這樣 L=T-U 就可以符合 Lagrange's equation
像是電磁力的部分 $L=\frac{1}{2}mv^2-q\phi +q\vec{v}\cdot\vec{A}$，可以自己驗證。
如果不是所有的力都能用位能表示的話，則我們會寫$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j})-\frac{\partial L}{\partial q_j}=Q_j$$其中 $Q_j$ 就是那種不能用位能表示的力。
如果他是那種拖曳力，$\vec{F}=-k\vec{v}$，則我們可以得到一個 $F=\frac{1}{2}(k_xv_x^2+k_yv_y^2+k_zv_z^2)$，這樣將他代入前面的式子得到：$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j})-\frac{\partial L}{\partial q_j}+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}_j}=0$$

## 結尾
1.6 只是在講應用，不太想去多談，那這章的最大重點應該就是虛功原理和 Lagrange's equation 吧。前面的那些系統大概也可以看一看，不用很仔細。
