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title: The Central Force Problem

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# The Central Force Problem
## Reduction to the Equivalent One-body Problem
考慮一個 $m_1$ 和 $m_2$ 的雙質點系統，若以質心作為原點，令兩個的向量差為 $\vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1$，而位能同樣是 depend 在這個 $\vec{r}$ 上。如果我們考慮速度差為  $\vec{v}=\dot{\vec{r}}=\dot{\vec{r}}_2-\dot{\vec{r}}_1$，會得到動能為 $\frac{1}{2}\mu v^2$，其中 $\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$。因此我們知道，可以將雙質點系統變成一個單質點系統。

## The Equations of Motion and First Integral
這種問題我們通常可以簡化為二維。因此拉格朗日量為
$$L=T-V=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)-V(r)$$由此可見，$\theta$ 是一個循環座標，對應的正則動量是系統的角動量：
$$p_{\theta}=mr^2\dot{\theta}=l$$而他是守恆的。如果我們考慮面積速率為：
$$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^2\dot{\theta}$$我們也能發現他是守恆的，這就是克卜勒的等面積律。
考慮座標 r，剩餘的拉格朗日方程式為
$$\frac{d}{dt}(m\dot{r})-mr\dot{\theta}^2+\frac{\partial V}{\partial r}=0$$將角動量守恆帶進去可以得到：
$$m\ddot{r}-\frac{l^2}{mr^3}+\frac{\partial V}{\partial r}=0$$乘上速度$$m\ddot{r}\dot{r}-\frac{l^2}{mr^3}\dot{r}+\frac{dV}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m\dot{r}^2+\frac{l^2}{2mr^2}+V)=0$$這就是能量守恆

## The Equivalent One-dimensional Problem, and Classification of Orbits
由於我們前面提到角動量守恆，我們可以自動把題目化簡為一個一維運動。令 $$V'=V+\frac{l^2}{2mr^2}$$因此能量守恆為 $E=V'+\frac{1}{2}m\dot{r}^2$

## The Virial Theorem
考慮一個值 G：
$$G=\sum_i \vec{r}_i \cdot \vec{p}_i$$如果拿它對時間做微分，會得到
$$ \frac{dG}{dt}=\sum_i \dot{\vec{r}}_i\cdot{p}_i+\sum_i \vec{r}_i\cdot\vec{F}_i=2T+\sum_i \vec{r}_i\cdot\vec{F}_i$$若對時間做平均值，會得到
$$\frac{1}{\tau}\int_0^{\tau}\frac{dG}{dt}dt=\overline{\frac{dG}{dt}}=0=2\overline{T}+\overline{\sum_i \vec{r}_i\cdot\vec{F}_i}$$因此
$$\overline{T}=-\frac{1}{2}\overline{\sum_i \vec{r}_i\cdot\vec{F}_i}$$我們以理想氣體做為例子，根據能量均分原理，式子左方為 $\frac{3}{2}Nk_BT$，而右方由於
$$d\vec{F}_i=-P\widehat{n}dA_i$$因此
$$-\frac{1}{2}\sum_i \vec{r}_i\cdot\vec{F}_i=\frac{P}{2}\int \vec{r}_i\cdot\widehat{n} dA=\frac{P}{2}\int \nabla\cdot\vec{r} dV=\frac{3PV}{2}$$因此 $PV=Nk_BT$，就是理想氣體方程式。
如果是考慮雙星系統，則 
$$\overline{T}=-\frac{1}{2}\overline{\sum_i \vec{r}_i\cdot\vec{F}_i}=\frac{1}{2}\nabla V\cdot\vec{r}$$考慮 $V=ar^{n+1}$ 的勢函數，因此 $T=\frac{n+1}{2}V$。

## The Differential Equation for the Orbit, and Integrable Power-law Potentials
由於 $ldt=mr^2d\theta$，因此 $dt$ 和 $d\theta$的關係為
$$\frac{d}{dt}=\frac{l}{mr^2}\frac{d}{d\theta}$$如果代入前面的式子，會得到：
$$\frac{l}{r^2}\frac{d}{d\theta}(\frac{l}{mr^2}\frac{dr}{d\theta})-\frac{l^2}{mr^3}=f(r)$$令 u=1/r 並以位能表示
$$u+\frac{d^2u}{d\theta^2}=-\frac{m}{l^2}\frac{d}{du}V(\frac{1}{u})$$如果我們把 $dt$ 換成 $d\theta$，再使用前面的能量守恆式，會得到
$$d\theta=\frac{ldr}{mr^2\sqrt{\frac{2}{m}(E-V-\frac{l^2}{2mr^2})}}$$假設 $V=ar^{n+1}$，則我們可以知道如果 n=1,-2,-3 的話，則左邊這個式子拿去積分，則可以獲得三角函數的式子。

## Condition for Closed Orbits
假設 $E=\frac{1}{2}m\dot{r}^2+V'(r)$
考慮圓形軌道的情況，要符合 $\frac{\partial V'}{\partial r}=0$，那如果要是穩定軌道，要符合 $\frac{\partial^2 V'}{\partial r^2}>0$
根據 Bertrand's Theorem，只有虎克定律和平方反比定律的力才能在任何情況下形成封閉軌道

## The Kepler's Theorem
根據前面的積分式，可以知道：
$$\frac{1}{r}=C(1+e\cos{\theta})$$其中
$$C=\frac{mk}{l^2}$$$$e=\sqrt{1+\frac{2El^2}{mk^2}}$$因此在平方反比的時候，會形成橢圓軌道。

## The Motion in Time in The Kepler Problem
可以看出
$$t=\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{r_0}^r\frac{dr}{\sqrt{\frac{k}{r}-\frac{l^2}{2mr^2}+E}}$$如果我們將 $r=a(1-e\cos{\psi})$ 帶入式子，我們可以發現繞一整圈的週期：
$$\tau=2\pi a^{\frac{3}{2}}\sqrt{\frac{m}{k}}$$我們就可以知道克卜勒第三定律，也就是半長軸與周期的關係。

## The Laplace-Runge-Lenz Vector
$$\dot{\vec{p}}=f(r)\frac{\vec{r}}{r}$$$$\frac{d}{dt}(\vec{p}\times\vec{L})=\dot{\vec{p}}\times\vec{L}=\frac{mf(r)}{r}[\vec{r}\times(\vec{r}\times\dot{\vec{r}})]=\frac{mf(r)}{r}[\vec{r}(\vec{r}\cdot\dot{\vec{r}})-r^2\dot{\vec{r}}]$$$$=\frac{mf(r)}{r}[r\dot{r}\vec{r}-r^2\dot{\vec{r}}]=-mf(r)r^2(\frac{\dot{\vec{r}}}{r}-\frac{\vec{r}\dot{r}}{r^2})$$因此
$$\frac{d}{dt}(\vec{p}\times\vec{L})=\frac{d}{dt}(\frac{mk\vec{r}}{r})$$所以我們知道向量
$$\vec{A}=\vec{p}\times\vec{L}-mk\frac{\vec{r}}{r}$$如果拿去與 $\vec{r}$ 做內積，則會有
$$\vec{A}\cdot\vec{r}=Ar\cos{\theta}=\vec{r}\cdot(\vec{p}\times\vec{L})-mkr=\vec{L}\cdot(\vec{r}\times\vec{p})-mkr=l^2-mkr$$
因此會有
$$\frac{1}{r}=\frac{mk}{l^2}(1+\frac{A}{mk}\cos{\theta})$$這就是克卜勒第一定律的另一種推法。
