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# System prepended metadata

title: Variational Principle

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# Variational Principle and Lagrange's Equation
## Hamilton's Principle
在第一章是用微分的方法推導 Lagrange's equation。而在這一章，我們改用積分的方式來推導這個定理。
如果我們用 n 個廣義座標 $q_1,q_2,q_3,...,q_n$ 來描述整個系統的運動，則可以得到一個作用量 I：
$$I=\int_{t_1}^{t_2} L dt$$其中 L=T-V，也稱為 Lagrangian。$L=L(\vec{q},\dot{\vec{q}},t)$
那我們知道，不同的路徑可以得到不同的 I，為了取得現實生活中一個物體受到力學影響而產生的路徑，我們有一個定理：
**Hamilton's principle: 現實生活中，I 會是平穩值，也就是 $\delta I=0$。**
接下來我們的推導可以發現，Lagrange's Equation 和 Hamilton's principle 是等價的。

## Some Techniques of the Calculus of Variations
為了開啟這段推導，我們必須使用變分法。我們有一個函數 $f(y,\dot{y},x)$，而 $y=y(x)$ 必定經過兩個點 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$。且我們希望能夠調整 y 這個函數，因此引入一個參數 $y(x,\alpha)=y(x,0)+\alpha \eta(x)$，若我們要求 $J=\int_{x_1}^{x_2} f(y,\dot{y},x)dx$ 的平穩值，則 $\frac{dJ}{d\alpha}=0$，因此：
$$\frac{dJ}{d\alpha}=\int_{x_1}^{x_2} (\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \alpha}+\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial \dot{y}}{\partial \alpha})dx=\int_{x_1}^{x_2} (\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \alpha}+\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial^2 y}{\partial \alpha\partial x})dx$$$$\int_{x_1}^{x_2} \frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial^2 y}{\partial \alpha\partial x}dx=(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial y}{\partial \alpha})_{x_1}^{x_2}-\int_{x_1}^{x_2} \frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}})\frac{\partial y}{\partial \alpha}dx=-\int_{x_1}^{x_2} \frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}})\frac{\partial y}{\partial \alpha}dx$$$$\frac{dJ}{d\alpha}=\int_{x_1}^{x_2} (\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}))\frac{\partial y}{\partial \alpha}dx=0$$因此 $\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}})=0$。
在這種情況下，如果我們把 f 改成 L，y 改成 $q_j$，則會有 Lagrange's equation。
$$\frac{\partial L}{\partial q_j}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_j}}=0$$
## Extention of Hamilton's Principle to Nonholonomic System
我們可以擴展拉格朗日方程式到非完整約束系統中。在這些系統中，每個廣義座標並不是獨立的，卻不能用 $f(q_1,q_2,...,q_n,t)=0$ 來表示。而在這時候我們就要在意虛擬位移有沒有符合約束。
我們希望能夠有 $f_\alpha(q_1,q_2,...,q_n;\dot{q_1},\dot{q_2},...,\dot{q_n})=0$ 的約束，這種稱為半完整約束。假設我們有 m 個這種約束。則我們會有 $\sum_\alpha \lambda_\alpha f_\alpha=0$ 其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘數。我們把它加入在最小作用量原理上，會得到 $\delta \int_{t_1}^{t_2} (L+\sum_\alpha^m\lambda_\alpha f_\alpha)=0$，如果用這個方向解變分的話，則會有 
$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}})-\frac{\partial L}{\partial q_k}=Q_k$$其中
$$Q_k=\sum_{\alpha=1}^{m}{\lambda_\alpha[\frac{\partial f_\alpha}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}(\frac{\partial f}{\partial \dot{q_k}})]-\frac{d\lambda_\alpha}{dt}\frac{\partial f_\alpha}{\partial \dot{q_k}}}$$（我們假設 $\lambda$ 僅為時間的函數）

## Conservation Theorems and Symmetry Properties
如果有 n 個自由度，則有 n 個二階微分方程式，而二次微分方程式也有兩個初始條件常數，所有微分方程式的第一積分，都可以這樣表示：$$f(q_1,q_2,q_3,...,\dot{q_1},\dot{q_2},...,t)=const.$$這個式子包含了守恆律。
我們將拉格朗日量對 $\dot{q_j}$ 做偏微分，則會有 $p_j=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_j}}$ 我們稱為 canonical momentum。對電磁場的狀況，$\vec{p}_{can}=\vec{p}+q\vec{A}$。如果 L 不顯含 q，則 $\dot{p_j}=0$。如果我們考慮了這種動量，就不會有電磁力不符合牛頓第三定律的問題。
如果一個拉格朗日量不包含 $q_j$（可能包含 $\dot{q_j}$ ），那這個座標被稱為 cyclic 或 ignorable。拉格朗日的運動方程式為
$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}})-\frac{\partial L}{\partial q_k}=\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}})=0=\frac{dp_j}{dt}$$因此這個座標的動量守恆。根據 Routh 所講的方法，我們可以把這個動量設為常數，再解不是 cyclic 的座標

## Energy Function and the Conservation of Energy
我們可以用 Lagrangian 得出另一個能量守恆式，如果我們把它對時間來取微分，會得到：
$$\frac{dL}{dt}=\frac{\partial L}{\partial t}+\sum\frac{\partial L}{\partial q_j}\frac{dq_j}{dt}+\sum\frac{\partial L}{\partial \dot{q_j}}\frac{d\dot{q_j}}{dt}=\frac{\partial L}{\partial t}+\sum\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_j}})\frac{dq_j}{dt}+\sum\frac{\partial L}{\partial \dot{q_j}}\frac{d\dot{q_j}}{dt}=\frac{\partial L}{\partial t}+\sum\frac{d}{dt}(\dot{q_j}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_j}})$$由此可知：
$$ \frac{d}{dt}(\sum_j\dot{q_j}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_j}}-L)+\frac{\partial L}{\partial t}=0$$那我們令$$\sum_j\dot{q_j}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_j}}-L=h$$假設 L 不顯含時間，則 h 是守恆的。
那我們其實可以發現 $T=T_0+T_1+T_2$，其中 $T_0$ 只與廣義座標有關，$T_1$ 與 $\dot{q_j}$ 的一次項有關，$T_2$ 與 $\dot{q_j}$ 的二次項有關
那 $L(q,\dot{q},t)=L_0(q,\dot{q},t)+L_1(q,\dot{q},t)+L_2(q,\dot{q},t)$ 其中 $T_0$ 只與廣義座標有關，$T_1$ 與 $\dot{q_j}$ 的一次項有關，$T_2$ 與 $\dot{q_j}$ 的二次項有關。我們可以知道 $h=2L_2+L_1-L=L_2-L_0$，而 $L_2=T$，$L_0=-V$，因此 h=T+V=E
如果有耗散力的話
$$\frac{\partial L}{\partial t}+\frac{dh}{dt}=\sum_j\frac{\partial F}{\partial \dot{q_j}}\dot{q_j}$$那這章大概就是這樣

## 心得
這章感覺有點複雜，總覺得要再看得更細一點，但會不會沒弄懂這些東西對後面沒什麼差。反正還有時間，我先看一下熱力學轉換心情。