$$
I = I_s e^\frac{V-RI}{V_T}
$$

Kirchoff gleichungen:

$$
I_s e^\frac{V^+ - V^- - RI}{V_T} - I_1 = 0\\
- I_s e^\frac{V^+ - V^- - RI}{V_T} + I_1 = 0
$$

auf der rechten seite $I$ durch $I^\prime$ ersetzen

$$
I = I_s e^\frac{V-RI^\prime}{V_T}
$$

Neues Gleichungssystem:

$$
I_s e^\frac{V^+ - V^- - RI^\prime}{V_T} - I_1 = 0\\
- I_s e^\frac{V^+ - V^- - RI^\prime}{V_T} + I_1 = 0\\
I_s e^\frac{V^+ - V^- - RI^\prime}{V_T} - I^\prime = 0
$$

Beispiel schaltung:


Weil das negative node gnd ist fällt die matrix Zeile + rhs weg

$$
I_s e^\frac{V^+ - RI^\prime}{V_T} - I_1 = 0\\
I_s e^\frac{V^+ - RI^\prime}{V_T} - I^\prime = 0
$$

Das ist jetzt ein standard gleichungs system, das mit newton gelößt werden kann:

$$
F(x) = \begin{pmatrix}
I_s e^\frac{V^+ - RI^\prime}{V_T} - I_1\\
I_s e^\frac{V^+ - RI^\prime}{V_T} - I^\prime
\end{pmatrix} = 0\\
\quad x = \begin{pmatrix} V^+ \\ I^\prime\end{pmatrix}\\
Jx_{k+1} = J x_{k} - F(x_k) \Leftrightarrow J(x_{k+1} - x_k) = - F(x_k)
$$

Die Jacobi Matrix sieht dann wie folgt aus:

$$
\begin{pmatrix}
\frac{I_s}{V_T} e^\frac{V^+ - RI^\prime}{V_T} && -\frac{I_sR}{V_T} e^\frac{V^+ - RI^\prime}{V_T}\\
\frac{I_s}{V_T} e^\frac{V^+ - RI^\prime}{V_T} && -\frac{I_sR}{V_T} e^\frac{V^+ - RI^\prime}{V_T} -1
\end{pmatrix}
$$

TLDR:

* Normale Matrix einträge/rhs generieren für +/- Nodes
* zusätzliche unbekannte $I^\prime$
* Zusätzlicher Matrix eintrag $J_{I^+,I^\prime}=-J_{I^-,I^\prime} = \frac{\partial I}{\partial I^\prime}$
* In Matrix $J_{I^\prime, X}$ die selben Ableitungen nochmal eintragen wie für $J_{I^+,X}$
* In Matrix zu $J_{I^\prime, I^\prime}$ zusättzlich $-1$ addieren
* rhs von $I^\prime$ muss den Wert der Branch minus $I^\prime$ erhalten (plus zusätliche summanden für $Jx_k$ für spice)