# Linjär algebra 1
> [name=skriven av Simon Danielsson studerande på BTH][color=#F58221]

## Kapitel 1 : Vektorer

### 1.1. Vektorbegreppet

**Planet** - x y kordinatsystem
**Rummet** - x y z kordinatsystem

**Vektor** är en n-tupel. En vektors **dimension** bestäms av antalet element i tupeln

**Nollvektorn** = (0,0,..., 0)

Denna kurs kommer vi främst att jobba med dimensioner 2 & 3.

Negativa kordinater i en vektor kan representeras som : *"x steg i motsatt x-riktning"*. Vi observerar att variabeln x i detta fall kan vara y eller z med etc.

**Additon** fungerar precis som i vanliga fall.
För att addera vektorer krävs de att de är samma dimension.

**Kommutativa lagen** :
u + v = v + u

**Associativa lagen** :
(u + v) + w = u + (v + w)

Summan av u + v svarar mot diagonalen i ett parallelogram där sidorna består av v & u.

**Multiplikaton** fungerar precis likadant som i vanliga fall. Multiplicera x med varje element i vektorn v.

x(1, 2, 3) = (1 * x, 2 * x, 3 * x)

**Subtraktion** följer samma princip som addition.

---

### 1.2. Egenskaper hos vektorer

**Parallelitet**
**u = λv** eller **v = λu**

Sätt upp ekvationsystem för att avgöra om vektorer är parallela.

**Linjärkombination**

Ett sätt att uttrycka en vektor eller ett tal på.

**Ex:**
6 = 3 * 2
(3, 1, 6) = (1, 2, 3) + (2, -1, 3)

Om v är en linjärkombination av u då är v & u parallela.

**Längd av vektorer**
I dimension 2 får vi vektorers längd m.h.a pythagorats sats : *a^2 = b^2 + c^2*

I dimension 3 kan vi få längden med en modifierang av ovan sats : *d^2 = a^2 + b^2 + c^2*

En vektor med längd 1 kallas för **enhetsvektorn**

Längden av en vektor betecknas som **|u|** *(två vertikala på varje sida, det fungerade inte att göra det här)*

---

### 1.3. Skalärprodukt
Produkten av två vektorer.

Skalärprodukt kan användas för att beräkna vinkel mellan två olika vektorer mha av formen :
u * v = |u| * |v| * cosλ

#### Ortogonalitet och ortogonal projektion

Två vektorer är **ortogonala** om u * v = 0
Om två vektorer är ortogonala innebär det att de är vinkelräta mot varann om inte någon av dem är nollvektorn.