# Clase del 8 de noviembre de 2022
###### tags: `Curso IPE 2022`
Cheatsheet: https://www.i3s.unice.fr/~malapert/R/pdf/base-r.pdf
Referencia: **Probability and statistics with R.** Ugarte, Militino y Arnholt.
## Distribucion de Poisson
Sea $X$ una v.a. con distribucion de Poisson de parametro $\lambda = 1$.
1) Cual es la probabilidad de que $X = 3$?
Resp. $\frac{1}{6e}$
Recordemos que la funcion de masa de probabilidad de $X$ sea $k$ es:
$$
P(X = k) = \dfrac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}
$$
Poniendo $\lambda = 1$ y $k = 3$, me da:
$$
P(X = 3) = \dfrac{1^{3}e^{-1}}{3!} = \dfrac{1}{6e} = 0.06131324
$$
```R
> exp(1)
[1] 2.718282
> exp(0)
[1] 1
> exp(2)
[1] 7.389056
```
Hay una forma mas conveniente de hacer el calculo en R, utilizando una funcion que se llama `dpois` que directamente evalua la funcion de masa de probabilidad en los valores (`k`) dados.
```R
> dpois(3, 1)
[1] 0.06131324
```
El nombre de la funcion empieza con `d` para indicar que es una funcion de masa (densidad) de probabilidad, y `pois` para indicar que se trata de una distribucion de Poisson.
2) Cual es la probabilidad de que $X$ sea menor o igual a $5$?
$$
P(X \leq 5) = \sum_{k=0}^5 P(X = k) = \sum_{k=0}^5 \dfrac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}
$$
```R
> sum(2/(1*(exp(1)))+1/(2*(exp(1)))+1/(6*(exp(1)))+1/(24*(exp(1)))+1/(120*(exp(1))))
0.9994058
```
A continuacion lo vamos a resolver de una manera mas conveniente utilizando la funcion `dpois`.
```R
> d <- seq(0, 5, by=1)
> sum(dpois(d, 1))
0.9994058
```
Como tercera opcion, utilizaremos una forma todavia mas conveniente que resulta de la *funcion de distribucion* es decir $P(X \leq k)$, mediante la funcion de R llamada `ppois`.
```R
> ppois(5, 1)
0.9994058
```
**Observacion.** Si quisieramos $P(3 \leq X \leq 5)$, entonces podemos escribir cualquiera de las dos formas:
```R
> sum(dpois(3:5, 1))
[1] 0.07970721
> ppois(5, 1) - ppois(2, 1)
[1] 0.07970721
```
3) Cual es la probabilidad de que $X$ sea mayor a $2$?
```R
ppois(Inf, 1) - ppois(2, 1)
0.0803014
```
Observar que `ppois(Inf, 1)` es `1`:
```R
1 - ppois(2, 1)
```
Otra manera de hacerlo es pedirle a `ppois` que use `>=`:
```R
> ppois(2, 1, lower.tail=FALSE)
[1] 0.0803014
```
## Distribucion normal
Ref: Ejemplo 4.25 de *Probability and statistics with R*.
Los resultados de cierto examen en una universidad siguen una distribucion normal de media $100$ desviacion estandard de $10$.
1) Cual es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar tenga un resultado entre $90$ y $115$?
Sugerencia: mirar las funciones `dnorm` y `pnorm`.
```R
> pnorm(115, 100, 10) - pnorm(90, 100, 10)
[1] 0.7745375
```
2) Que resultado se precisa obtener para estar en el "top 10%"?
Queremos encontrar el valor $c$ tal que el $90%$ del area esta a la izquierda. En otras palabras, el $10%$ del area me queda a la derecha.
```R
> qnorm(0.9, 100, 10)
[1] 112.8155
```
```R
> pnorm(112.8155, 100, 10)
[1] 0.8999997
```
Es decir, el `qnorm` me devuelve el X que me deja el area dada a la izquierda.
3) Encontrar la constante $c$ tal que $P(105 \leq X \leq c) = 0.1$.
Solucion:
```R
> x <- pnorm(105, 100, 10)
> x
[1] 0.6914625
> qnorm(0.1 + x, 100, 10)
[1] 108.1151
```
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