# Clase del 22 de noviembre de 2022 ###### tags: `Curso IPE 2022` Cheatsheet: https://www.i3s.unice.fr/~malapert/R/pdf/base-r.pdf Referencia: **Probability and statistics with R.** Ugarte, Militino y Arnholt. - `dpois` / `ppois` /`qpois` - `dnorm` / `pnorm` /`qnorm` - `dexp` / `pexp` /`qexp` ## Resumen ### Variables discretas - La funcion que a cada $k$ le asigna $P(X = k)$ se llama la *funcion de masa de probabilidad*. En R, podemos evaluar funciones de masa de probabildad con el comando `dbinom`. Ese comando evalua la funcion de masa de probabilidad de la distribucion binomial. Es decir, `dbinom(k, n, p)` evalua $P(X = k)$ donde $X \sim Bin(n, p)$. - Que hace la `pbinom`? La funcion que a cada $k$ le asigna $P(X \leq k)$ se llama *funcion de distribucion* de la variable aleatoria $X$. En R, para evaluar la funcion de distribucion de una binomial, utilizamos el comando `pbinom`. Es decir, `pbinom(k, n, p)` me devuelve $P(X \leq k)$ suponiendo que $X \sim Bin(n, p)$. - Por otro lado `qbinom` devuelve cuartiles. ### Variables continuas - $P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(s)ds$ donde $f$ es la *funcion de densidad* de la variable aleatoria $X$ y $P(X \leq x)$ es la funcion de distribucion de la variable aleatoria $X$. - Por ejemplo, `dnorm(x, mu, sigma)` evalua la densidad $f(x)$ de la normal con parametros $\mu$ y $\sigma$. - Por ejemplo para calcular la probabilidad de que una v.a. este entre $a$ y $b$ uso diferencia de `pnorm`. $$ P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^b f(s) ds = \int_{-\infty}^b f(s) ds - \int_{-\infty}^a f(s) ds $$ ## Distribucion normal (continuacion) Un fabricante de celulares quiere construir un modelo con un parlante y microfono que funcionen con "manos libres". Cierta compania ha patentado un componente que ofrece materiales con resistencia (medida en $\Omega$) inferior respecto de otras tecnologias. La compania de telefonos requiere que la resistencia sea menor que $0.7\Omega$. Se sabe que: - El 50% de los componentes de la nueva compania tienen $0.5\Omega$ o menos. - El 10% tiene $0.628\Omega$ o mayor. - La distribucion en $\Omega$ es normal. 1) Encontrar la media y la desviacion estandard de la distribucion en $\Omega$ de los components de la nueva empresa. 2) Si un componente se selecciona al azar, cual es la probabilidad que su resistencia sea menor que $0.7\Omega$? 3) Si 20 componentes se seleccionan al azar, cual es la probabilidad de que por lo menos 19 componentes tengan resistencia menor que $0.7\Omega$? **Solucion** Parte (1) Sea $X$ el valor de resistencia en $\Omega$ de cada componente. Como $X$ se distribuye de manera normal, y las distribuciones normales son simetricas, entonces la media es la misma que la mediana. Como el 50% de los componentes tiene resistencia de $0.5\Omega$ entonces $\mu_X = 0.5$. Sabemos que $$ P(X \leq 0.628) = 0.9 $$ Normalizando, $$ P\left( Z = \dfrac{X - 0.5}{\sigma} \leq \dfrac{0.628 - 0.5}{\sigma}\right) = 0.9 $$ $$ P(Z \leq \frac{0.128}{\sigma}) = 0.9 $$ Sea $\alpha = \frac{0.128}{\sigma}$. Entonces $$ P(Z \leq \alpha) = 0.9 $$ Podemos usar la `qnorm`: ```R > qnorm(0.9, 0, 1) [1] 1.281552 > pnorm(1.281552, 0, 1) ``` Entonces $\alpha = 1.281552$, entonces $$ \alpha = \dfrac{0.128}{\sigma} \Rightarrow \sigma = \dfrac{0.128}{1.281552} \approx 0.1 $$ --- (2) Cual es el error en el siguiente calculo? ```R pnorm(0.7, 0.1) [1] 0.7257469 ``` El problema es que esta tomando $\mu = 0.1$ y $\sigma = 1$. La respuesta correcta es: ```R pnorm(0.7, 0.5, 0.1) [1] 0.9772499 ``` (3) Llamemosle $p = 0.9772499$ a la probabilidad de que un componente seleccionado al azar tenga una resistencia menor que $0.7\Omega$. Sea $n = 20$ componentes seleccionado al azar. Sea $X \sim Bin(n, p)$. ```R sum(dbinom(19, 20, 0.9772499), dbinom(20, 20, 0.9772499)) [1] 0.9249675 ``` Otras maneras de resolverlo: ```R p <- 0.9772499 sum(dbinom(19:20, 20, p)) ``` --- ## Distribucion $F$ ### Ejercicio 1 Encontrar las constantes $c$ y $d$ tales que tales que: $$ P(F_{5, 10} < c) = 0.95 $$ y $$ P(F_{5, 10} < d) = 0.05 $$ *Solucion.* ```R qf(0.95, 5, 10) [1] 3.325835 qf(0.05, 5, 10) [1] 0.2111904 ``` ### Ejercicio 2 (1) Calcular $P(F_{19, 19} \leq 2.53)$ ```R pf(2.53, 19, 19) [1] 0.9751673 ``` (2) Calcular $P(F_{19, 19} \leq 0.40)$ ```R > pf(0.40, 19, 19) [1] 0.02628577 ``` ## Distribucion $t$ ### Ejercicio 1 Calcular $P(-2 \leq t_4 \leq 2)$. ```R pt(2, 4) - pt(-2, 4) [1] 0.8838835 ```