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title: Clase del 11 de octubre de 2022
tags: [Curso IPE 2022]

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# Clase del 11 de octubre de 2022

###### tags: `Curso IPE 2022`

Cheatsheet: https://www.i3s.unice.fr/~malapert/R/pdf/base-r.pdf

Referencia: **Probability and statistics with R.** Ugarte, Militino y Arnholt.

## Temas

- Ejemplos de uso de `function`, `sapply`.
- Ejemplos de `plot`, `abline`.
- Probabilidad condicional.
- Ejercicio de práctica.

## Problema del cumpleaños

Supongamos que una clase tiene $m$ estudiantes. Cual es la probabilida de que al menos dos de ellos cumplan el mismo dia?

Se asume, para simplificar, que siempre hay $n = 365$ días en un año.

**Solución.** Sea $E$ el evento tal que dos o más estudiantes cumplen el mismo día. Por lo tanto, el complemento $E^C$ se refiere al evento 

$$
P(E) = 1 - P(E^C)
$$
y
$$
P(E^C) = \frac{365 * 364 * \ldots * (365 - m + 1)}{365^m}
$$
entonces
$$
P(E) = 1 - \frac{365 * 364 * \ldots * (365 - m + 1)}{365^m}
$$

Ahora escribimos un codigo en R que calcula una tabla del numero de estudiantes y la probabilidad de que al menos dos cumplan el mismo dia.

```R
m <- seq(10, 50, 5)

P.E <- function(m){
    c(Estudiantes = m, Prob = 1 - prod((365:(365 - m + 1)/365)))
}

t(sapply(m, P.E))
```

```R
      Estudiantes      Prob
 [1,]          10 0.1169482
 [2,]          15 0.2529013
 [3,]          20 0.4114384
 [4,]          25 0.5686997
 [5,]          30 0.7063162
 [6,]          35 0.8143832
 [7,]          40 0.8912318
 [8,]          45 0.9409759
 [9,]          50 0.9703736
```

A continuacion mostramos una forma grafica de observar el resultado del ejercicio.

```R
m <- 1:60 # numero de estudiantes
p <- numeric(60) # inicializo en 0
for (i in m){
    q = prod((365:(365 - i + 1))/365)
    p[i] = 1 - q
}

plot(m, p, col = "skyblue3", pch=19, ylab="P(E)", xlab="m")
abline(h=0.5, lty=2, col="red") # agregar linea horizontal
abline(v = 23, lty=2, col="red") # agregar linea vertical
```

![](https://i.imgur.com/AeKIZSJ.png)

## Probabilidad condicional

Supongamos que tiro dos dados (numeros del 1 al 6) "no cargados", es decir, cada una de las 36 posibilidades es igualmente probable.

Sabiendo que el primer dado es un 4, cual es la probabilidad de que la *suma* de los dados sea 8?

**Solucion.** En este ejercicio, el espacio muestral es

$$
\Omega = \{(i, j): i = 1, 2,\ldots, 6~~j = 1,2 , \ldots, 6 \}
$$
donde cada $(i, j)$ tiene probabilidad 1/36 de ocurrir.

Sean los eventos:

- $H$: la suma de los dados es igual a 8
- $G$: en el primer dado salio 4

Me interesa calcular $P(H | G)$. Sabemos que:

$$
P(H|G) = \dfrac{P(H \cap G)}{P(G)} = \frac{1/36}{1/6} = \frac{1}{6}
$$

Ahora vamos a usar R para visualizar el resultado del ejercicio.

```R
library(MASS)

Omega <- expand.grid(dado1 = 1:6, dado2 = 1:6)

> Omega <- expand.grid(dado1 = 1:6, dado2 = 1:6)
> Omega
   dado1 dado2
1      1     1
2      2     1
3      3     1
4      4     1
.....
33     3     6
34     4     6
35     5     6
36     6     6
```
Cada fila de 1 a 36 es un posible resultado del experimento. Las columnas `dado1` y `dado2` representan el resultado de cada dado.

El comando `subset` me permite seleccionar un subconjunto de la grid dada cierta condicion booleana.

```R
> H <- subset(Omega, dado1 + dado2 == 8)
> H
   dado1 dado2
12     6     2
17     5     3
22     4     4
27     3     5
32     2     6
```

```R
> G <- subset(Omega, dado1 == 4)
> G
   dado1 dado2
4      4     1
10     4     2
16     4     3
22     4     4
28     4     5
34     4     6
```

```R
> PG <- nrow(G) / nrow(Omega)
> PG
[1] 0.1666667

> fractions(PG)
[1] 1/6
```
tambien se puede poner `PG <- dim(G)[1]/dim(Omega)[1]`.

```R
> HaG <- subset(Omega, dado1 == 4 & dado2 == 4)
> HaG
   dado1 dado2
22     4     4
```

```R
> PHaG <- nrow(HaG) / nrow(Omega)
> PHaG
[1] 0.02777778
> fractions(PHaG)
[1] 1/36
```

```R
> PHgG <- PHaG / PG
> PHgG
[1] 0.1666667
> fractions(PHgG)
[1] 1/6
```

## Ejercicio: Impresiones

Una empresa cuenta con 10 impresoras. En un momento dado, los empleados en su conjunto envian 10 trabajos a imprimir. Se supone que cada trabajo puede utilizar cualquier impresora con la misma probabilidad (es decir, se pueden enviar varios trabajos a una misma impresora).

a - Calcular la probabilidad de que las 10 impresoras se utilicen en simultáneo.

b - Cuantas impresoras necesito para asegurarme que ninguna impresora recibira mas de un trabajo? Digamos por "asegurarme" se entiende un 90% de exito.

c - Generar un grafico donde el eje horizontal es el numero de impresoras disponibles y el eje vertical es la probabilidad de que ninguna impresora reciba mas de un trabajo, de un total de 10 trabajos.