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title: Clase del 15 de noviembre de 2022
tags: [Curso IPE 2022]

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# Clase del 15 de noviembre de 2022

###### tags: `Curso IPE 2022`

Cheatsheet: https://www.i3s.unice.fr/~malapert/R/pdf/base-r.pdf

Referencia: **Probability and statistics with R.** Ugarte, Militino y Arnholt.

- `dpois` / `ppois` /`qpois`
- `dnorm` / `pnorm` /`qnorm`
- `dexp` / `pexp` /`qexp`



## Distribucion exponencial

La vida útil de cierto tipo de bombilla sigue una distribución exponencial de media 8 meses.

Encontrar:

1) La probabilidad de que una bombilla dure entre 3 y 12 meses.
2) El percentil 95 de la distribución.
3) La probabilidad de que una lámpara que ha durado 10 meses dure más de 25 meses.

**Solucion.**

Parte 1)

- `?pexp`: ayuda

Lo siguiente no es correcto. Por que?
```R
sum(dexp(3:12, 1/8))
0.5216646
```
La exponencial es una variable continua, pero `dexp` fue evaluada en un numero discreto de puntos.

```R
pexp(12, 1/8) - pexp(3, 1/8)
[1] 0.4641591
```

Parte 2)

El percentil 95 es el valor $x_{95}$ tal que

$$
\int_{-\infty}^{x_{95}} f(x) dx = \int_{-\infty}^{x_{95}} \frac{1}{8}e^{-x/8} dx = \dfrac{95}{100}.
$$

```R
qexp(0.95, 1/8)
23.96586
```

Parte 3)



$$
P(X > 25 | X > 10) = \frac{P((X > 25) \cap (X > 10))}{P(X > 10)} = \frac{P(X > 25)}{P(X > 10)}
$$
           
```R
(1 - pexp(25, 1/8))/(1-pexp(10, 1/8))
[1] 0.153355
```

## Distribucion normal

Un fabricante de celulares quiere construir un modelo con un parlante y microfono que funcionen con "manos libres". Cierta compania ha patentado un componente que ofrece materiales con resistencia (medida en $\Omega$) inferior respecto de otras tecnologias.

La compania de telefonos requiere que la resistencia sea menor que $0.7\Omega$. Se sabe que:

- El 50% de los componentes de la nueva compania tienen $0.5\Omega$ o menos.
- El 10% tiene $0.628\Omega$ o mayor.
- La distribucion en $\Omega$ es normal.

1) Encontrar la media y la desviacion estandard de la distribucion en $\Omega$ de los components de la nueva empresa.

2) Si un componente se selecciona al azar, cual es la probabilidad que su resistencia sea menor que $0.7\Omega$?

3) Si 20 componentes se seleccionan al azar, cual es la probbailidad de que por lo menos 19 componentes tengan resistencia menor que $0.7\Omega$?

**Solucion**

Parte (1)

Sea $X$ el valor de resistencia en $\Omega$ de cada componente.

Como $X$ se distribuye de manera normal, y las distribuciones normales son simetricas, entonces la media es la misma que la mediana. Como el 50% de los componentes tiene resistencia de $0.5\Omega$ entonces $\mu_X = 0.5$.

Sabemos que

$$
P(X \leq 0.628) = 0.9
$$

Normalizando,

$$
P\left( Z = \dfrac{X - 0.5}{\sigma} \leq \dfrac{0.628 - 0.5}{\sigma}\right) = 0.9
$$

$$
P(Z \leq \frac{0.128}{\sigma}) = 0.9
$$

Sea $\alpha = \frac{0.128}{\sigma}$.

Entonces

$$
P(Z \leq \alpha) = 0.9
$$


Podemos usar la `qnorm`:

```R
> qnorm(0.9, 0, 1)
[1] 1.281552
```

Entonces $\alpha = 1.281552$, entonces

$$
\alpha = \dfrac{0.128}{\sigma} \Rightarrow \sigma = \dfrac{0.128}{1.281552} \approx 0.1
$$

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