# Clase del 15 de noviembre de 2022 ###### tags: `Curso IPE 2022` Cheatsheet: https://www.i3s.unice.fr/~malapert/R/pdf/base-r.pdf Referencia: **Probability and statistics with R.** Ugarte, Militino y Arnholt. - `dpois` / `ppois` /`qpois` - `dnorm` / `pnorm` /`qnorm` - `dexp` / `pexp` /`qexp` ## Distribucion exponencial La vida útil de cierto tipo de bombilla sigue una distribución exponencial de media 8 meses. Encontrar: 1) La probabilidad de que una bombilla dure entre 3 y 12 meses. 2) El percentil 95 de la distribución. 3) La probabilidad de que una lámpara que ha durado 10 meses dure más de 25 meses. **Solucion.** Parte 1) - `?pexp`: ayuda Lo siguiente no es correcto. Por que? ```R sum(dexp(3:12, 1/8)) 0.5216646 ``` La exponencial es una variable continua, pero `dexp` fue evaluada en un numero discreto de puntos. ```R pexp(12, 1/8) - pexp(3, 1/8) [1] 0.4641591 ``` Parte 2) El percentil 95 es el valor $x_{95}$ tal que $$ \int_{-\infty}^{x_{95}} f(x) dx = \int_{-\infty}^{x_{95}} \frac{1}{8}e^{-x/8} dx = \dfrac{95}{100}. $$ ```R qexp(0.95, 1/8) 23.96586 ``` Parte 3) $$ P(X > 25 | X > 10) = \frac{P((X > 25) \cap (X > 10))}{P(X > 10)} = \frac{P(X > 25)}{P(X > 10)} $$ ```R (1 - pexp(25, 1/8))/(1-pexp(10, 1/8)) [1] 0.153355 ``` ## Distribucion normal Un fabricante de celulares quiere construir un modelo con un parlante y microfono que funcionen con "manos libres". Cierta compania ha patentado un componente que ofrece materiales con resistencia (medida en $\Omega$) inferior respecto de otras tecnologias. La compania de telefonos requiere que la resistencia sea menor que $0.7\Omega$. Se sabe que: - El 50% de los componentes de la nueva compania tienen $0.5\Omega$ o menos. - El 10% tiene $0.628\Omega$ o mayor. - La distribucion en $\Omega$ es normal. 1) Encontrar la media y la desviacion estandard de la distribucion en $\Omega$ de los components de la nueva empresa. 2) Si un componente se selecciona al azar, cual es la probabilidad que su resistencia sea menor que $0.7\Omega$? 3) Si 20 componentes se seleccionan al azar, cual es la probbailidad de que por lo menos 19 componentes tengan resistencia menor que $0.7\Omega$? **Solucion** Parte (1) Sea $X$ el valor de resistencia en $\Omega$ de cada componente. Como $X$ se distribuye de manera normal, y las distribuciones normales son simetricas, entonces la media es la misma que la mediana. Como el 50% de los componentes tiene resistencia de $0.5\Omega$ entonces $\mu_X = 0.5$. Sabemos que $$ P(X \leq 0.628) = 0.9 $$ Normalizando, $$ P\left( Z = \dfrac{X - 0.5}{\sigma} \leq \dfrac{0.628 - 0.5}{\sigma}\right) = 0.9 $$ $$ P(Z \leq \frac{0.128}{\sigma}) = 0.9 $$ Sea $\alpha = \frac{0.128}{\sigma}$. Entonces $$ P(Z \leq \alpha) = 0.9 $$ Podemos usar la `qnorm`: ```R > qnorm(0.9, 0, 1) [1] 1.281552 ``` Entonces $\alpha = 1.281552$, entonces $$ \alpha = \dfrac{0.128}{\sigma} \Rightarrow \sigma = \dfrac{0.128}{1.281552} \approx 0.1 $$ ---