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title: '[科普文章1]-學習數學有意義嗎？'

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# 我是高中生，學習數學有意義嗎？

（預防針聲明：筆者不是高中生，只是一個曾被填鴨式教育摧殘，但在大學時期逐漸掙脫框架的老人家(?)，所以想分享一些對「學習數學」的看法，給正在升學體制中掙扎的學生，作為額外的思考材料。）

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**「我學這些到底有什麼意義?」**

筆者相信，這個問題在許多人求學的某個階段都曾浮現過。遺憾的是，「學習知識」這件事本身，並不一定總是具有明確的意義，但這不代表「知識的內容」毫無價值。

尤其是當你為了準備大考（如會考、學測或分科測驗）瘋狂刷題，寫到懷疑人生的時候，這個問題可能會變得更加刺耳：「我學這些真的有用嗎？」

筆者寫下這篇文章，不是要給出標準答案，而是希望提供另一種思考的角度——讓你看看數學，如何與你想成為的自己，或是你所遇見的社會角色產生聯繫。

:::success
在開始閱讀之前，筆者想請你們思考：
「平均數、標準差、相關係數對你們有什麼意義？」
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# 追星大小事
如果你們有在追星、接觸二次元，那你們大概會知道有些粉絲會為愛發電—自發性做應援物或周邊商品、書寫或繪畫同人創作等，這些粉絲有的是無償，有的是只收成本價，更甚有的以此謀生並營利。

如果你們想成為這樣的其中一分子，可能會碰到這個問題：**「那我要怎麼運作才不會虧損太嚴重？」**　
我們這裡只詳細討論「持平」（只收成本價）的作法。

## 「持平」是目的，那手段呢？
:::warning
持平的意思是既不虧損也無賺錢。
:::

要達到「持平」的目的，你們需要先知道自己將會耗費多少錢、得到多少物品，再更進一步去訂定每個物品要收多少錢。

這樣的想法，如果轉換成更具體的問題，會變成：
> 假設你打算製作 50 份應援手幅，印刷廠的報價如下：  
> - **第一家印刷廠**：一次訂購 50 份，每份成本 30 元。  
> - **第二家印刷廠**：訂購 30 份，每份 35 元；訂購 50 份，每份 28 元。  
> - **第三家印刷廠**：不管數量多少，每份 32 元。  

你會發現，選擇不同印刷廠會影響你的成本。如果你選擇第二家印刷廠且訂購 50 份，總成本為：  

$$\text{總成本} = 50 \times 28 = 1400$$

那麼你的**平均成本**（每份手幅的成本）為：  

$$\text{平均成本} = \frac{\text{總成本}}{\text{數量}} = \frac{1400}{50} = 28$$

這代表**如果你想持平，每份手幅至少要收 28 元**。

更實際層面的考量，如果你想彌補運費或不可預測的損壞成本，則可以收 30 元（這裡只是舉例）。  

:::success
你發現了嗎？
數學是輔助你做決策的工具，讓你能在做自己喜歡的事情，同時避免自己不會為愛發電到破產。
:::

## 物價會變動，那有什麼風險？
我們剛剛只思考了最單純的手段，實際情況中，你們可能會因為運輸費、不同批次的印刷價格變動，導致每份手幅的成本不一樣。例如：  

| 批次 | 數量 | 單價（元） | 總成本（元） |  
|------|------|----------|----------|  
| A | 20 | 31 | 620 |  
| B | 15 | 27 | 405 |  
| C | 15 | 26 | 390 |  

如果你們每次購買時，印刷價格都不一樣，你就很難預測總成本。這時會遇到一個困境：
<div style="text-align: center">
<strong>＂不知道總成本👉無法制定合理售價👉無法確保自己是否持平或虧損＂</strong>
</div>

這時我們可以利用**標準差**($\sigma$)來衡量價格波動的情況，公式如下：  

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}}$$

其中 $x_i$ 是每批次的成本，$\mu$ 是平均成本（單價的平均值）。

::::info
**如果你好奇 $\sigma$ 的計算結果，可以點開來看！**
**（先自己挑戰一下再點開也不遲啦 ><）**

:::spoiler Click to learn more :wave:
#### **步驟 1：計算平均數 $\mu$**  

已知：
- $x_i$ 是各批次的單價（$x_A=31、x_B=27、x_C=26$）
- $n$ 是總批次數量（每批各訂購一次，所以 $n=3$）

可以得到：
$$\mu = \frac{31 + 27 + 26}{3} = \frac{84}{3} = 28$$

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#### **步驟 2：計算每個單價與平均數的差異（偏差）**  

計算每個批次單價與平均單價的差：  

| 批次 | 單價 $(x_i)$ | 偏差 $(x_i - \mu)$ | 偏差平方 $((x_i - \mu)^2)$ |
|------|-------|----------------|-------------------|
| A | 31 | $31 - 28 = 3$ | $3^2 = 9$ |
| B | 27 | $27 - 28 = -1$ | $(-1)^2 = 1$ |
| C | 26 | $26 - 28 = -2$ | $(-2)^2 = 4$ |

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#### **步驟 3：計算變異數（方差）**  

$$\sigma^2 = \frac{9 + 1 + 4}{3} = \frac{14}{3} \approx 4.67$$

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#### **步驟 4：計算標準差**  

$$\sigma = \sqrt{4.67} \approx 2.16$$

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::::

**「我為什麼需要考慮價格波動？」
「為什麼標準差可以衡量價格波動？」
「價格波動又是什麼意思？」**

別急，我們一個一個來思考。你們需要先知道：

:::warning
價格波動表示價格不是固定的，而是會上下浮動。
- 例１：超商一瓶奶茶今天賣 25 元，過幾天變成 27 元，有時又特價 22 元。這就是價格波動。
- 例２：某明星的門票原價 3000 元，但因為供需變化，黃牛炒到 5000 元，甚至有人搶不到票，只能花 6000 元買二手票。
:::

接著，我們來解釋為什麼標準差可以做為衡量價格波動的指標。
假設現在有兩家供應商：  
| 供應商 | 訂購次數 | 單價變動（元） | 平均價格（元） | 標準差 |
|--------|--------|--------------|--------------|------|
| 供應商 A | 3 | 27、28、29 | **28** | **0.82** |
| 供應商 B | 3 | 25、30、35 | **30** | **4.08** |

從結果來看（標準差數值反映了**價格與平均價格之間的偏離程度**）：  

- **供應商 A 的價格變動較小（標準差 = 0.82）** :point_right: 你可以比較準確地預測成本，安心批量印刷。  
- **供應商 B 的價格變動較大（標準差 = 4.08）** :point_right: 你可能某次拿到便宜價格（25 元），但也可能突然變貴（35 元），導致成本不可控。  

**所以選擇價格穩定的供應商（標準差小）能讓你更好地規劃預算，減少意外開銷。**  

:::success
你發現了嗎？
標準差提供你一個參考指標，幫助你規避風險。
（這就是為什麼企業在制定價格時，除了計算平均成本，可能還會考慮標準差，以確保價格穩定性。）
:::

### 現實決策：如何應對標準差高的供應商？
當你們在選擇供應商時，如果不想讓成本浮動太大，應該選擇標準差小的供應商（供應商 A）。

如果只能選擇標準差大的供應商（供應商 B），你應該考慮：
1. 一次性大量購買（趁低價時一次囤貨）。
2. 與供應商談固定價格合約（讓價格穩定）。
3. 預先準備預算範圍（確保自己能承受高價時的成本）。

如此一來，就能降低價格波動所造成的影響，讓成本更容易掌控！

## 預測未來價格趨勢
我們已經知道怎麼選擇供應商，那在什麼時間點購買才合適呢？
雖然我們都希望在價格較低時進行印刷，但現實情況是價格會變動，我們還能採取哪些措施來應對這種情況呢？

假設過去五次印刷的價格如下：

| 期數 | 每份手幅成本（元） |
|------|----------------|
| 1    | 30             |
| 2    | 28             |
| 3    | 27             |
| 4    | 26             |
| 5    | 25             |

在這種情況下，我們可以使用**迴歸直線**來預測未來印刷價格的趨勢。迴歸直線的公式為：
$$ y-\bar{y} = r\frac{\sigma_y}{\sigma_x}(x-\bar{x}) $$

其中：
- $y$ 是預測的印刷價格；$\bar{y}$ 是印刷價格的平均值；$\sigma_y$ 是印刷價格的標準差
- $x$ 是時間（期數）；$\bar{x}$ 是時間（期數）的平均值；$\sigma_x$ 是時間（期數）的標準差
- $r$ 是相關係數，表示時間和價格之間的線性相關性

::::info
**如果你好奇迴歸直線的計算結果，可以點開來看！**
**（先自己挑戰一下再點開也不遲啦 ><）**

:::spoiler Click to learn more :wave:
#### **步驟 1：計算平均數**  
已知我們有每個期數（x）和對應的價格（y），可得：
   - 平均期數 $\bar{x}$：
   $$\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3$$
   - 平均價格 $\bar{y}$：
   $$\bar{y} = \frac{30 + 28 + 27 + 26 + 25}{5} = 27.2$$


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#### **步驟 2：計算斜率 $r\frac{\sigma_y}{\sigma_x}$**  
公式如下：
$$r\frac{\sigma_y}{\sigma_x} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$$
   其中 $x_i$ 是期數，$y_i$ 是相應的成本。

因為
$$ \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (1-3)(30-27.2) + (2-3)(28-27.2) + (3-3)(27-27.2) + (4-3)(26-27.2) + (5-3)(25-27.2) = -12 $$
以及
$$ \sum (x_i - \bar{x})^2 = (1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2 = 10$$

最終結果：
$$ r\frac{\sigma_y}{\sigma_x} = \frac{-12}{10} = -1.2 $$


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#### **步驟 3：計算最終迴歸直線**  
$$ y - 27.2 = -1.2 (x - 3) $$

整理一下可得：
$$ y = -1.2x + 30.8 $$

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::::

透過計算，我們知道迴歸直線是 $y = -1.2x + 30.8$。

如果我們要預測第六次印刷（即期數為 6）的價格，會是：
$$ y = -1.2*6  + 30.8 = 23.6$$

因此下一次印刷的價格可能會落在 24-25 元之間，而這樣的預測有助於我們決定是否要提前下單，以鎖定較低成本。

:::success
你發現了嗎？
雖然算數學很煩，但利用數據分析的概念可以幫助我們進行成本計算與價格決策。
而迴歸直線則幫助我們決策最佳的進貨時機。
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# 結語  
知識的價值不僅在於它本身的內容，更在於我們如何運用它來解決現實問題。當你成為某個社會角色，例如「用愛發電」的手幅供應者，你會發現數學不再只是課本上的計算，而是一種輔助工具，幫助你在定價、成本管理、風險評估等方面做出更合理的決策。而這，正是數學的核心價值——讓我們在做決策時，不只是「憑感覺」，而是有憑有據。

或許，學習的過程中你曾經懷疑：「這些數學知識真的有用嗎？」但當你親自開始試算成本，試圖確保不會賠得太慘，甚至希望讓自己的作品以更低的成本、更穩定的品質提供給更多人時，你會發現，平均數、標準差、迴歸分析……這些看似抽象的概念，其實早已滲透在你做決策的每個環節。

「學習的意義」 需要自己去找。筆者相信，找到學習的價值是遲早的事——甚至，發現某些知識在你的生活中沒有直接用處，本身也是一種收穫，因為這能讓你更清楚自己真正關心的領域。

如果你試著從自身興趣出發，去觀察不同職業是如何運作的，思考這些職業需要哪些技能與知識，你會對這個世界的運行方式有更深的理解。當你開始理解各種技能如何交織、如何影響彼此，你也更能判斷自己對什麼感興趣，進而找到學習的方向與動力。

最後，想對那些曾因考試成績不理想，就覺得自己在這門科目上「沒天分」的學生說：  

**學習不該只是為了考試，而是一種探索世界的方式。**  

成績的高低，往往只是某個時間點的反映，並不代表你的能力，更不代表你永遠無法學好這門學科。或許你只是還沒找到適合自己的學習方式，或是還沒遇到真正能引導你理解這門學問的引路人。  

數學，或任何一門學科，都不只是課本上的符號與公式，而是理解世界的一種語言、一種思考方式。當你有一天能夠用這些知識解決生活中的問題，幫助自己做出更好的決策，你會發現，這些當初讓你頭痛的概念，可能比你想像的更有價值。

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備註：本篇內容由周姿吟原創，內容經 ChatGpt 輔助修訂與細化，歡迎勘誤。

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