# Mafi III - Übungsblatt 3
**Tutor**: Birkemeyer, Fynn Henrik
**Studierende**: Philipp Wellner und Vincent Post
**Übungsgruppe**: 06
**Semester**: WiSe 20/21
**Datum**: 2020-11-27

# Aufgabe 1
## c
$$ z_3 = (1+3i)^2 * (3-9i)^2 / (1-i)^3 \; | \; \text{Binomische Formeln auflösen}
$$
$$
= \frac{(1 + 6i + (3i)^2) * (9 - 54i + (9i)^2) }{ (1-i)^2(1-i)} \; | \; \text{quadrate aufloesen}
$$
$$
= \frac{(1 + 6i -9 ) * (9 - 54i - 81) }{ (1-2i-1)(1-i)}
$$
$$
= \frac{(-8 + 6i) * (-72 - 54i)}{(-2i)(1-i)}
$$
$$
= \frac{(-8 + 6i) * (-72 - 54i)}{(-2i*1)-(-2i*i)}
$$
$$
= \frac{(-8 + 6i) * (-72 - 54i)}{(-2i)-(-2i^2)}
$$
$$
= \frac{(-8 + 6i) * (-72 - 54i)}{(-2i)-(2)}
$$
$$
= \frac{(-8 + 6i) * (-72 - 54i)}{(-2-2i)}
$$
Hier wende ich die multiplikation zweier Komplexer Zahlen an.
$$
(-8 + 6i) * (-72 - 54i) = (-8*-72 - 6*-54) + i(-8*-54 + 6*-72)
$$
$$
= (8*72 + 6*54) + i(8*54 - 6*72)
$$
$$
= (576 + 324) + i(432 - 432)
$$
$$
= (900) + i(0)
$$
Nun setze ich die 900 oben ein
$$
z_3 = \frac{900}{(-2-i2)}
$$
$$
= \frac{900}{-2(1+i)}
$$
$$
= \frac{-450}{1+i}
$$
$$
= \frac{2*-225*(1-i)}{(1+i)(1-i)}
$$
$$
= \frac{2*((-225)-(-225*i))}{1-i^2}
$$
$$
= \frac{2*(-225+225i)}{1-(-1)}
$$
$$
= \frac{2*(-225+225i)}{2}
$$
$$
z_3= -225+225i
$$
Dies kann man jetzt zur Polarumstellung umrechnen..
$$
|z_3| = \sqrt{(-225)^2 + 225^2}
$$
$$
|z_3| = \sqrt{225^2 + 225^2}
$$
$$
|z_3| = \sqrt{2 * 225^2}
$$
$$
|z_3| = \sqrt{2} * \sqrt{225^2}
$$
$$
|z_3| = \sqrt{2} * 225
$$
Fall 1 ($y >= 0$)
$$
arg z_3 = arccos(\frac{-255}{\sqrt{2} * 225})
$$
$$
arg z_3 = arccos(\frac{-1}{\sqrt{2}})
$$
$$
arg z_3 = 3PI/4
$$
$$
arg z_3 = 135Grad
$$

Die Polardarstellung hat einen Radius von $\sqrt{2} * 225$ und einen Winkel von $135^o$

# Aufgabe 2
## b
Eine Komplexe Zahl kann als Vector betrachtet werden. Wenn ich einen Vector mit einer Reelen Zahl Multipliziere, kriege ich einen gestauchten / gestreckten Vector. Wenn ich diese beiden Vectoren als Ortsvectoren zum Punkt (0,0) im Komplexen Koordinatensystem betrachte, haben beide Vectoren / Komplexen zahlen den selben Winkel mit jedoch unterschiedliche Radien.

Nehme mann nun die Zahl $z$ mit dem radius $r_z$ Winkel $\alpha_z$ sowie die Zahl $w$ ($w$ = $z*x | x \in \mathbb{R^+}$) mit Radius $r_w$ und dem Winkel $\alpha_w$.

Aufgrund des Nachweises der Vectoren, gilt:
$\alpha_z = \alpha_w$ weshalb ich ab jetzt fuer beide Winkel $\alpha$ verwende.

Betrachten Wir nun wieder die beiden Vectoren $v_z$ (Vector repraesentation von $z$) sowie $v_w$.

Wir kriegen nun die Vectoren $v_z = (x_z,y_z)$ sowie $v_w = (x_w,y_w)$. Wobei gilt: $v_z*r = v_w$

Dies kann man bei vectoren auf die einzel bestandteile uebertragen, deshalb gilt:

$$
v_w = (x_z*r,y_z*r)
$$
Nun beweise ich das die Laenge des Vectors $v_w$ identisch mit $|w|$ ist.
$$
|w| = \sqrt{(x_w)^2 + (y_w)^2}
$$
$$
|v_w| = \sqrt{(x_w)^2 + (y_w)^2}
$$
$$
|v_w| = |w|
$$

Das gleiche gilt auch fuer $z$ bzw. $v_z$.

Unter oben genannten Bedingungen folgt also auch
$$
v_w = (x_z*r,y_z*r) => |v_w| = \sqrt{(x_z * r)^2 + (y_z *r)^2}
$$
$$
=> |v_w| = \sqrt{r^2 ( (x_z)^2 + (y_z)^2)}
$$
$$
=> |v_w| = \sqrt{r^2} * \sqrt{ (x_z)^2 + (y_z)^2}
$$
$$
=> |v_w| = r * \sqrt{ (x_z)^2 + (y_z)^2}
$$
$$
=> |v_w| = r * |v_z|
$$
$$
=> |w| = r * |z|
$$
Nun koennen wir den Vector $v$ aus $v_z+v_w$ bilden, welcher $z+w$ entspricht.

$$
v =(x_z+x_w,y_z+y_w)=(x_z+(x_z*r), y_z+(y_z*r))
$$

Wir koennen nun die Laenge des Vectors v berechnen
$$
|v| = \sqrt{(x_z+x_z*r)^2 + (y_z+y_z*r)^2}
$$

Ich muesste jetzt r formal ersetzten... Leider ist mir das gerade zu kompliziert... weshalb ich nur kurz informell den Rest ausformuliere...

Wir wissen das gilt $|v| = |v_z|+|v_w| => |v| = |w|+|z|$

Es gilt also zu zeigen: $|v| = |w+z|$ bzw. $v$ ist der Ortsvector von $z+w$.

$$
z+w = (x_z+x_w) + i(y_z+y_w) = (x_z+x_z*r) + i(y_z+y_z*r)
$$
$$
|z+w| = \sqrt{(x_z+x_z*r)^2 + (y_z+y_z*r)^2 }
$$
Aus
$$
|z+w| = \sqrt{(x_z+x_z*r)^2 + (y_z+y_z*r)^2 }
$$
Und
$$
|v| = \sqrt{(x_z+x_z*r)^2 + (y_z+y_z*r)^2}
$$
folgt:
$$
|v| = |w+z|, |v|=|w|+|z| => |w+z| = |w|+|z|
$$
# Aufgabe 3
## c
Wenn wir $z=1$ setzten, subtrahiert sich alles weg
$$
z^4−z^3−3\sqrt{3}iz+3\sqrt{3}i= 0
$$
$$
1^4−1^3−3\sqrt{3}i+3\sqrt{3}i= 0
$$
$$
1 - 1 +3\sqrt{3}i - 3\sqrt{3}i = 0
$$
$$
0 = 0
$$
Somit gibt es eine Nullstelle bei $z=1$ , $z_1= 1+i0$, $|z_1|=1$, $argz_1=0^o$

# Aufgabe 4
## a
* Durch Raten haben wir die Nullstelle x=-3 gefunden

| | 2 | 8 | -10 | -60 | -36 |
| - | - | - | - | - | - |
| $$ x_1 = -3 $$ | | -6 | -6 | 48 | 36 |
| | 2 | 2 | -16 | -12 | 0 |

=> $$ f(x) = 2x^3 + 2x^2 - 16x - 12 $$

* Durch erneutes Raten haben wir bei der resultierenden Formel auch die Nullstelle -3 gefunden

| | 2 | 2 | -16 | -12 |
| - | - | - | - | - |
| $$ x_1 = -3 $$ | | -6 | 12 | 12 |
| | 2 | -4 | -4 | 0 |

=> $$ g(x) = 2x^2 - 4x -4 $$

Schon hier haben wir nachgewiesen, dass die Formel eine zweifache Nullstelle bei -3 hat. Aus Komplettheitsgründen werden die restlichen Nullstellen auch noch ausgerechnet.

Wir teilen die gesamte Gleichung durch zwei und wenden dann die p-q Formel an.

$$
2x^2 - 4x - 4 = 0 \\
x^2 - 2x - 2 = 0 \\
-\frac{-2}{2} \pm \sqrt{(\frac{-2}{2})^2- (-2)} = 0\\
1 \pm \sqrt{1 + 2} = 0
$$

Schlussendlich:
$$
x_1 = -3 \\
x_2 = 1 + \sqrt{3} \\
x_3 = 1 - \sqrt{3} \\
$$

## b