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title: Limit
tags: limit
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}
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## Problem 1
Evaluate the limit of the following functions as x approaches the indicated point.

\begin{gather*} \lim_{x\to0} \frac{1}{x^2} \end{gather*}

<img src = https://i.imgur.com/oODu6XR.png class="ph_3">

> Solution
> 因為分子是常數且分母在 x 趨近 0 時趨近 0 ，$\frac{1}{x^2}$ 所以分數趨近於無限大 ∞。

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## Problem 2
函數$f(x) = |x|$ 在 $x=-2$處可微分還是不可微分

> Solution
> \begin{gather*}
> f'(-2)=\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)} = \frac{f(x)-2}{x+2}
> \end{gather*}
>
> 其中，此題為 $x = -2$, 因此，$|x|=-x$，上式可以改成
> \begin{gather*}
f'(-2)= \frac{(-x-2)}{x+2}=\frac{-(x+2)}{x+2}=-1
\end{gather*}
>
> 此處可以微分，微分值為-1。
>
> > 另解：若要看可不可微分，需要看其導數存不存在，由下圖可看出在$x=-2$ 處附近為一直線，直線為線性方程式，而線性方程式的微分為這條線的斜率，所以==只要在該點附近為線性方程式，其微分一定存在==
<img src = https://i.imgur.com/boOtI2S.png class="ph_3">

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## Problem 3
找下列函數在在哪裡不連續
\begin{gather*}
f(x)=\frac{x^2-2x}{x^2-3x+2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)(x-2)}
\end{gather*}

> Solution:
> 只要讓分母為0的數字，均為不連續 -> x = 1, 2
> 雖然在x = 2這個位置分子分母可以互相抵消，但在x=2 這一點並不連續，也就是 x 不可以等於2。

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## 可微分
導函數的定義 $f′(x)= \lim_{Δx→0}\frac{f(x+Δx)−f(x)}{Δx}$ 以極限值來呈現，第 2 主題 "極限" 曾談到極限若要存在，需 "左極限 = 右極限" 。導函數當然依據極限的定義也分成左導數與右導數 。

> **定義: (左導數)**
> $f_-′(x)= \lim_{Δx→0^-}\frac{f(x+Δx)−f(x)}{Δx}$ 稱為左導數。

> **定義: (右導數)**
> $f_+′(x)= \lim_{Δx→0^+}\frac{f(x+Δx)−f(x)}{Δx}$ 稱為右導數。

> **定義: (可微分)**
> 函數 f 在點 x=a 之左導數 = 右導數，
> 則稱函數 f 在 x=a 可微分。

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## Useful Link
+ [線上微積分解題](https://www.mathway.com/zh/Calculus)
+ [繪圖計算機](https://www.geogebra.org/graphing?lang=zh-TW)