# 嘉義高中資研社入社考【答案版】
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## 注意事項
1. $hint$ 表示該題提示，score代表該題配分
2. 題目依照難度「大概」排序
3. 本測驗可能會出現無解的答案，如果您認為該題答案為無解，則請直接回答 $\,-1$
4. 若有多種答案，請你回答任意一種，並化為最簡
5. 請依照題目所提供的答案格式填寫答案，如果不確定自己寫的格式是否正確，請舉手詢問，分數以電腦判讀為主，答案較複雜的題目會有人工判讀
6. 有任何疑問請舉手發問

## 史丹利的機器人 ~score：5~

#### 題目敘述
史丹利有一隻機器人，機器人的功能如下：
1. $F（）$ 為呼叫機器人的指令，括號中會傳入一個數字 $n \quad e.g. \, F（3）$
2. 當機器人接收到指令後，會對讀入的數字進行以下操作

當 $n$ 為 $0$ 時，機器人會回報 $1$
否則，機器人會回報 $n \times F（n-1）$ 的結果（此處的 $F$ 指令會再次由機器人計算）

試問當史丹利對機器人使用 $F（6）$ 時，會得到什麼結果？

#### 答案格式
- 請直接回答數字
#### 答案
1. $720$
參考想法（by 吳書佑）：由指令可知，機器人會不斷遞迴計算直到 $n$ 為 $0$，所以答案為 $6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1\times 1 = 720$

## 等價交換 ~score：5~

#### 題目敘述
人不付出犧牲，便得不到任何回報；如果要得到什麼，就必須付出同等代價
這就是鍊金術的基本原則「等價交換」
當時，我們深信這就是世界的真理

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

從前有兩兄弟，哥哥愛德華個性大喇喇
弟弟阿爾馮斯個性小心且有禮貌，他們的爸爸在很小的時候就出外旅遊了
媽媽在這時不幸去世了
兩兄弟在傷心之餘爲了讓媽媽復活，認真鑽研煉金術
最終讓他們找到了人體煉成的方法

人體煉成最主要的材料如下︰

$鹽 \quad\,0.25 \,kg$
$碳 \quad\,20 \mspace{16.5mu}kg$
$磷 \quad\, 0.8 \mspace{11mu}kg$
$水 \quad\, 30\mspace{16mu}kg$
$硝石 \,0.1 \mspace{11mu}kg$
$石灰 \,1.5 \mspace{10mu}kg$

兩兄弟在練成之前需要去整理這些材料，若以重量由大而小排序，且每次移動只能挑選兩個材料互相交換，試問至少需要交換幾次才能完成排序？

#### 答案格式
- 請直接回答數字
-
#### 答案
1. $4$
參考想法（by 林佾則）：其中一解

## 象群 ~score：每小題各5分~

#### 題目敘述
大象是一種群居動物，而他們習慣以一種特殊的方式來為彼此編號，此方法如下圖
並且他們會用 $（a，b）$ 來表示他們的位置（$a$ 為縱軸，$b$ 為橫軸），編號 $1$ 的大象座標為 $（1，1）$
$\qquad e.g. \,$ 編號 $6$ 的大象座標為 $（3，2）$，編號 $11$ 的大象座標為 $（2，4）$

請回答以下兩題：
1. 編號 $88$ 的大象座標為多少？
2. 座標為 $（12，7）$ 的大象編號為多少？

#### 答案格式
- 編號請直接回答數字
- 座標請以括號及逗點表示，請勿輸入任何空格 $\quad e.g. \,(1,1)$

#### 答案
1. $(7,10)$
參考想法（by 吳書佑）：由 $9^2 < 88 <= 10^2$ 可判斷出 $88$ 位於第十圈（圈指的是由 $（1，1）$ 往」字形擴張），觀察規則後可得知該圈左下為 $100（10，1）$；右下 $91（10，10）$；右上 $82（1，10）$，推算後得座標為 $（7，10）$
2. $138$
參考想法（by 吳書佑）：觀察 $（12，7）$ 中比較大的數為 $12$，代表所在為第 $12$ 圈，觀察規則後可得知該圈左下為 $144（12，1）$；右下 $133（12，12）$；右上 $122（1，12）$，推算後得編號 $138$

## 小象買西瓜 ~score：15~

#### 題目敘述
小象今天肚子餓想出門買一顆西瓜吃，不過商人每天販賣的價格 $x$ 因為西瓜大小不同所以無法確定， $x$ 為整數$（1\le x\le 127）$，而小象的存錢桶有無限枚 $1$ 元硬幣，不過用鼻子夾 $1$ 元硬幣對小象來說實在是有點麻煩，於是他決定把硬幣用小布袋包成一包一包的，希望在購買時能夠用鼻子夾出數個小布袋支付，小象希望帶出門的布袋越少越好，你能告訴小象他最少需要用到幾個布袋來應付所有可能的價格嗎？

##### 備註
- $hint$：二進位
- 只要購買一次
- 由於小象是今天第一位客人，商人沒有零錢可以找，故小象只能支付與售價相同的金額

#### 答案格式

- 請直接回答數字
#### 答案

1. $7$
參考想法（by 吳書佑）：由二進位的角度觀察，想組合出 $0 \sim 127$ 的整數會用到 $7$ 個位數，分別代表 $1、2、4、8、16、32、64$，故可用 $7$ 個錢袋表示出所有可能的數

## 小象買西瓜．續 ~score：10~

#### 題目敘述
抵達商店後，商人擺出了 $8$ 顆外表一致的西瓜，並告訴小象其中有 $7$ 顆重量相同，只有 $1$ 顆比較重，接著給了小象一座天平，小象雖然覺得很瞎，但還是希望能吃到比較重的西瓜，此時小象想起他媽媽曾經跟他說過有一種最佳的找法，必定可以在第 $n$ 次時找出 $8$ 顆西瓜中不同的那顆，試問 $n$ 為多少？

##### 備註
- 由於小象是隻非洲象，用猜的對他來說太不切實際
- 天平可容納無限顆西瓜
- 找出 $n$ 即可，不用詳細說明

#### 答案格式

- 請直接回答數字
#### 答案

1. $2$
參考想法（by 吳書佑）：第一次秤量時選 $6$ 顆，兩邊各 $3$ 顆來秤 $\rightarrow$ 結果一或二
結果一：兩邊相同，秤量剩下 $2$ 顆 $\rightarrow$ 答案為偏重的那顆
結果二：有一邊偏重，偏重的那方 $3$ 顆中任選兩顆秤量 $\rightarrow$ 結果三或四
結果三：兩邊相同 $\rightarrow$ 答案為剩下沒秤的那顆
結果四：有一邊偏重 $\rightarrow$ 答案為偏重的那顆

## 翻轉骰子 ~score：每小題各10分~
#### 題目敘述
桌面上放著一顆骰子
目前 $1$ 點朝上，$2$ 點朝東，$3$ 點朝南，如下圖所示：


已知骰子相對的兩面點數和為 $7$，並且能夠往東西南北四個方向翻滾
試問要達成以下目標，各最少需要翻幾次呢？

1. 骰子在原點，$1$ 點朝上，$2$ 點改為朝西
2. 骰子在原點，$1$ 點朝上，$2$ 點改為朝南

##### 備註
- 骰子翻滾時會移動所在位置，假設向東翻滾一次，則骰子位置會在原點往東一格

#### 答案格式
- 請直接回答數字
#### 答案
1. $6$
2. $-1$
參考想法（by 林佾則）：北東南南西北（其中一解）、無解

## 變形的鑰匙與奇怪的機器 ~(題組)~ ~score：每小題各5分~
#### 題目敘述
Koying 今天在迷宮中探險時，不幸遇到了暴怒的大電神 Colten，生氣的 Colten 一看到 Koying 就想要把他電死。這讓 Koying 怕死了，但是根據 Koying 的了解，Colten 雖然很電但是平常不會隨便爆怒，因此他判斷 Colten 一定是遇到了什麼困難，在經過一番耐心的詢問之後，Colten 果真傷心的說道，他的特製鑰匙變形了，所以現在回不了他的家。雖然 Colten 有一台可以在放入一把或兩把鑰匙後經特定的指令產出一把新鑰匙的機器，***且原本的兩把鑰匙不會不見***，而且他記得他鑰匙原本長怎樣，可是他卻不知道怎樣操作可以讓他的鑰匙恢復原狀，請幫助 Colten 操作機器來修復他的鑰匙吧！

Colten 的鑰匙是由六個單位所組成的，而這六個單位的形狀只有兩種可能：凸起（$1$）或平的（$0$），且每塊凸起的長度都是一樣的，已知 Colten 有一把損壞的鑰匙以及無限把全部都是凸起和全部都平的的鑰匙

機器可以有以下四種操作：
1. $NOT$：放入一把鑰匙，並把鑰匙凸的地方變成平，平的變成凸的 $\\\qquad e.g. \,010101 \xrightarrow{not} 101010$
3. $AND$：放入兩把鑰匙，機器會一一比對兩把鑰匙的每個單位，若兩把鑰匙相同位置的單位都是凸起，則新鑰匙的該位置會是凸起的，否則會是平的 $\\0\, and\, 1 \rightarrow 0\enspace，\enspace 1\, and\, 1 \rightarrow 1\\\qquad e.g. \,010101\, and\, 000000 \longrightarrow 000000$
4. $OR\quad$：可以另外放入一個全凸或是全平的鑰匙，機器會一一比對兩把鑰匙的每個單位，若兩把鑰匙相同位置的單位有任一個是 $1$，則新鑰匙的該位置會是凸起的，否則會是平的$\\0\enspace or\enspace 1 \rightarrow 1\enspace ，\enspace 1\enspace or\enspace 1 \rightarrow 1\\\qquad e.g. \,010101\enspace or\enspace 111111 \longrightarrow 111111$
5. $XOR$：可以另外放入一個全凸或是全平的鑰匙，機器會一一比對兩把鑰匙的每個單位，若兩把鑰匙相同位置的單位不一樣（一凸一平），則新鑰匙的該位置會是凸起的，否則會是平的 $\\0\, xor\, 1 \rightarrow 1\enspace，\enspace 1\, xor\, 1 \rightarrow 0\\\qquad e.g. \,010101\, xor\, 111111 \longrightarrow 101010$

##### 第一大題（僅限一次操作） 請注意除了原本壞掉的鑰匙以外只有A, B兩種鑰匙，CD兩種是第二大題才出現的
1. Colten 原本的鑰匙是 $000000$，但他的鑰匙變成 $010101$ 了，請幫助 Colten 重新製造出原本的鑰匙
2. Colten 原本的鑰匙是 $110010$，但他的鑰匙變成 $001101$ 了，請幫助 Colten 重新製造出原本的鑰匙
##### 第二大題（僅限兩次操作）
Colten 發現他除了變形的鑰匙、全部都凸、全部都平的鑰匙之外，他還發現了形狀為 $010101$ 以及 $111000$ 的鑰匙，請回答下列問題

3. Colten 原本的鑰匙是 $110111$，但他的鑰匙變成了 $011101$，請幫助 Colten 重新製造出原本的鑰匙
4. Colten 原本的鑰匙是 $000110$，但他的鑰匙變成了 $110001$，請幫助 Colten 重新製造出原本的鑰匙
5. Colten 原本的鑰匙是 $010111$，但他的鑰匙變成了 $101010$，請幫助 Colten 重新製造出原本的鑰匙
#### 答案格式
- 每次操作 $XOR、AND、OR、NOT$ 請全數大寫
- 對於每次額外放入的鑰匙有以下四種代號：
1. $A\, \longrightarrow\, 000000$
2. $B\, \longrightarrow\, 111111$
3. $C\, \longrightarrow\, 010101$
4. $D\, \longrightarrow\, 111000$
- $CD$ 兩把鑰匙僅限第二大題使用
- 每次操作所得到的新鑰匙，會預設當作下一次操作中機器時的其中一把鑰匙，也就是只需要填寫新放入的鑰匙代號即可
- 範例1：一開始鑰匙是 $010101$，將其作 $NOT$ 處理之後與 $D$ 鑰匙做 $XOR$ 則填寫為 $NOTXORD$
- 範例2：一開始鑰匙是 $110001$，將其與 $B$ 做 $OR$ 則填寫為 $ORB$
- 全部字母皆為大寫

#### 解答
1. $ANDA$
2. $NOT$
3. $NOTORC$ / $XORCNOT$
4. $ORDNOT$
5. $ANDDNOT$
參考想法（by 陳克盈）：一一配對，無特殊解法

## 象城地圖 ~score：20~

#### 題目敘述
小象有一張地圖，其中記載了朋友們家的位置及各道路的連接路徑長，如下圖，圓圈代表朋友家，線段代表道路，數字代表路徑長，小象希望找出一條路線（請見備註），使這條路線可以到得了所有朋友家 $（V_0 \sim V_8\,無順序之分）$，並且使所選擇的道路的路徑長總和為最短，請你回答滿足以上條件的路徑長為多少

##### 備註
- $hint$：越短越好
- 線段長非實際比例，以圖片提供的數據為主
- 走的途中可以回頭，如左下圖例
- 不須考慮小象怎麼走這條路線，只要計算總路徑長即可
- 下圖紅色代表選取的道路

<center class="half">
<img src="https://i.imgur.com/3I8e2Nq.jpg" width="250"/>⇦符合條件<img src="https://i.imgur.com/AgHtuCt.jpg" width="250"/>⇦不符合條件
</center>

右圖因線段無連接在一起，非題目所說的一條道路，故不符合條件

#### 答案格式
- 請直接回答數字
#### 答案
1. $99$
參考想法（by 吳書佑）：運用「最小生成樹」的概念，將路徑長由小到大挑選，如果加入該條邊可以連接一個尚未被連接的點，則加入它。換句話說，如果加入這條邊會使路線形成一個「環」，則不加入它，以此類推直到所有點都連通
（詳細可搜尋 Kruskal演算法）

## Gura 愛數數 ~score：20~

#### 題目敘述
眾所皆知來自亞特蘭提斯的古老鯊魚 Gawr Gura 並不擅長算數學，經常算出令人匪夷所思的答案。這一天，Gawr Gura 在算數學時又出糗了，當他在統計小蝦米的數量時不專心只寫了個 "A" 在上面，闖禍的 Gawr Gura 把統計表單丟給了他貼心的朋友 Ninomae Ina’nis 便去睡覺了，而熱心的 Ninomae Ina’nis 出於好心幫他補上完整的資料，補完還不忘點點頭佩服自己的才能，這時一旁路過的 Mori Calliope 看到後忍不住冒出了一句：「TEEHEE TEEHEE ，這是什麼火雞文啊！！？ 你們把阿拉伯數字都寫成英文了啦，不過$\cdots\cdot$似乎有點規則？」
正當眾人都在煩惱時$\cdots\cdot\cdot$
「這是最基本的吧$\cdots\cdot$？依照亞特蘭提斯文 $A \sim I$ 各代表一個 $1 \sim 9$ 的數字且不重複ㄚ！」一個熟悉的聲音出現，睡著的 Gawr Gura 甚至因他跳坐了起來，眾人感受到了一絲希望，因為來的人正是小偵探 Waston Amelia，而根據華鯊公約，小偵探 Watson Amelia 需要找出愛人 Gawr Gura 的錯誤，否則他就要被甩了，請你幫助小偵探及他的愛人永遠幸福在一起

統計表如下，請你找到小蝦米的數量並將所有字母轉換成阿拉伯數字


#### 答案格式
- 請依照字母 $A \sim I$ 回答一串 $9$ 位數的數字 $\quad e.g. \,123456789$
#### 答案
1. $174682593$
參考想法（by 林佾則）：這題可以"暴力搜尋"的方式解出....以後會教～～
但要在那麼短的時間內解出只能通靈了(X