# Ch. 1 投票與集體選擇
## Some Cases
### Case 1: Paradox of Voting (Condorcet, 1785):
|Preference/People| 1 | 2 | 3 |
|--------| -------- | -------- | -------- |
|I| X | Y | Z |
|II| Y | Z | X |
|III| Z | X | Y |
#### 情況1: X vs. Y
1->X
2->Y
3->X
=>X = 2, Y = 1, **X勝過Y**
#### 情況2: Y vs. Z
1->Y
2->Y
3->Z
=>Y = 2, Z = 1, **Y勝過Z**
#### 情況3: X vs. Z
1->X
2->Z
3->Z
=>Z = 2, X = 1, **Z勝過X**
#### X勝過Y, Y勝過Z, Z勝過X同時發生 => 循環多數(Cycle Majority)
即使每個人都理性，在集體選擇上未必會形成理性的結果 => 集體選擇的困境
=>**Arrow's Impossiblility Theorem** (in *Social Choice and Individual Values*, Kenneth Arrow, 1951)

### Case 2:
|Preference/People| 1 | 2 | 3 | 4|5|6|7|8|9|
|--------| -------- | -------- | -------- |-------- |-------- |-------- |-------- |-------- |-------- |
|I| X | X | X | X | Y | Y | Y | Z | Z |
|II| Z | Z | Z | Z | Z | Z | Z | Y | Y |
|III| Y | Y | Y | Y | X | X | X | X | X |

假設所有選民真誠投票(不考慮策略性投票)

| Electoral System | Outcome |
| -------- | -------- |
| SMD-Plurality | X will be elected |
| Run-off Election | Y will be elected |

#### =>不同選舉制度可能造成不同結果
#### =>制度至關重要(Institution does matter)
Case 2 當中，假設X自稱代表民意，妥當嗎？
1. X在所有人的第一偏好當中誠然為最高票，但並未過半(可被測量)
2. 對於5, 6, 7, 8, 9而言，X是第三偏好(最討厭的)，那X能夠代表民意嗎？(無法被測量)

如果有一個選項能夠在一對一的簡單多數決下**擊敗**所有其他選項，則在任何公平的選舉制度下該選項都應該**勝出**，該選項則為Condorcet Winner；反之，如果有一個選項在一對一的簡單多數決下**被**所有其他選項**擊敗**，則在任何公平的選舉制度下該選項都應該**被擊敗**，該選項則為Condorcet Loser

* 在Case 2中，Z是Condorcet Winner；X是Condorcet Loser，卻可能最高票當選(由此得知SMD-Plurality和Run-off Election都不是公平的選舉制度)

#### Rousseau had ever said,*"The votes of people is the voice of god."* But does the result of the election really reflect people's preference?

### Case 3: 1995 French Presidential Election under Run-off Election

| | First Round | Second Round |
| -------- | -------- | -------- |
| Jacques Chirac (右派，前巴黎市長，第一次左右共治時的總理) | 20.8% | 52.6% |
| Lionel Jospin (左派，Mitterand的接班人) | 23.3% | 47.4% |
| Édouard Balladur (右派，第二次左右共治時的總理) | 18.6% | N/A |

第一輪結束後，Balladur便公開支持Chirac，最終導致Jospin在第二輪落敗。

### Case 4: 1987 Korean Presidential Election under Plurality/FPTP

| | Vote Share |
| -------- | -------- |
| 金大中 | 40.3% |
| 李會昌 | 38.7% |
| 李仁濟 | 19.2% |

What if: 改採Run-off election? 李會昌便可能當選。

### Case 5: an extreme case

| Preference/People | 1 | 2 |3|4|5|6|7|8|9|10|11|12|13
| -------- | -------- | -------- |-------- |-------- |-------- |-------- |-------- |-------- |-------- |-------- |-------- |-------- |-------- |
| I | a | a | a | a |b |b |b |c |c |c |d |d |d |
| II | d | d |d |d |a |a |a |b |b |b |b |b |c |
| III | c | c |c |c |b |c |c | d | d | d |c |c |b |
| IV | b | b |b |b |c | d | d |a |a |a |a |a |a |

#### 勝者：
Plurality: a
Approval Voting(投兩票): b
Approval Voting(投三票): c
Borda Count(不同偏好序得分不同): d
#### 所有人都可能獲勝

### Case 6: 直接民主與間接民主


#### 興建電廠：X贊成；Y不贊成
直接民主：7:8 => 不通過
間接民主：2:1 => 通過

=>代議政治有時窮：代議政治與民意可能有所出入
=>解決手段：公民複決(以濟代議政治之窮)
可能發生狀況：鄰避效應(Not In My BackYard, **NIMBY**)

### Case 7: 選區重劃

**I**黨與**II**黨實力相當：400-400

各選區支持狀況(I黨-II黨)
| A | B | C | D | E | F | G | H |
| -------- | -------- | -------- |-------- |-------- |-------- |-------- |-------- |
|40-60|70-30|50-50|60-40|40-60|70-30|40-60|30-70|

選區重劃方案：
| 提案 團體/人 | 選區1 | 選區2 |選區3|選區4|
| -------- | -------- | -------- |------|------|
| I黨 | A+B | C+D | E+F | G+H |
| II黨 | A+E | B+F | C+G | D+H |
| P | A+B | E+F | C+D |G+H|
| Q | A+E | B+C | F+G |D+H|
| R | A+E | B+F | C+D |G+H|

**席次比：I黨:II黨**
I黨方案：3:1
II黨方案：1:3
P方案：2:2
Q方案：2:2
R方案：2:2

看似公平的選舉制度，卻可能對政黨產生天壤之別的結果

選區劃分的範例：苗栗


## 多數決的類別：
1. 簡單多數決(Simple Majority): 選項只有兩個時，得票多者獲勝(有時必須考慮棄權票是否包括在內: 投票人數達到一定門檻)。比如：公投、議會表決、法國總統選舉第二輪。
2. 相對多數決(Plurality/FPTP): 無論候選人數目為何，得到最高票者當選。比如：目前台灣所有行政首長選舉(1950-1951的地方行政首長選舉曾採兩輪決選制)。
3. 絕對多數決(Absolute Majority): 無論其他條件如何(一輪還是兩輪)，勝選者最終得票必須過半數。
4. 特別多數決(Special Majority): 票數必須達到特定門檻(2/3, 3/4, 3/5...etc.)
* 特別少數：美國國會達到1/5議員同意門檻下即可要求國會表決亮票。