簡單數學 - HackMD

<h2 class="text-center">CPE 檢定加強計畫（二）</h2> <h3 class="text-center">簡單數學</h3> <style> :root{ --r-main-font-size: 30px; } .reveal .slides { text-align: left; } /* .ul-left { display: block !important; margin:0 0 0 0.5em !important; } */ .hint { color: #191919; } details[open] { margin-top: 1.5em; } details[open] .hint { color: inherit; } details[open] .hint::after { content: "："; } </style> ---- ### Table of Contents - 好用的C++語言數學工具 - 常見級數公式 - 中位數 - 微積分 - 基本例題講解 --- <h2 class="text-center">好用的 C++ 語言工具</h2> ---- ### 排序 sort() ```cpp int n = 5; int arr[n] = {5, 1, 8, 6, 7}; sort(arr, arr + n); // O(nlogn) 排序 ``` ---- ### 求冪次 pow() ```cpp cout << pow(2, 10) << '\n'; // 1024 cout << pow(2, -2) << '\n'; // 0.25 cout << pow(2, 0.5) << '\n'; // 1.41421 (根號 2) ``` *回傳值是浮點數，可能產生誤差 --- <h2 class="text-center">常見級數公式</h2> ---- ### 等差級數公式 $$ \begin{aligned} S_n &= \frac{(a_1 + a_n) n}{2} \\ &= \frac{2a + (n - 1) d}{2} \cdot n \end{aligned} $$ 推導請點[這裡](https://hackmd.io/@ShanC/Hk1mufmHC#/7/3)  ---- ### 等比級數公式有限項: $S_n = \begin{cases} a \cdot \dfrac{1 - r ^ n}{1 - r}, & r \neq 1 \\ an, & r = 1 \end{cases}$ 無限項(收斂): $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}, \quad 0 < r < 1$ 推導請點[這裡](https://hackmd.io/@ShanC/Hk1mufmHC#/7/7)  ---- ### 累加級數公式 $$ \begin{aligned} \sum_{k = 1}^{n} k &= 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n (1+n)}{2} \\ \sum_{k = 1}^{n} k^2 &= 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n (n+1) (2n+1)}{6} \\ \sum_{k = 1}^{n} k^3 &= 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \Biggl[\frac{n (n+1)}{2}\Biggr]^2 \end{aligned} $$ 推導請點[這裡](https://hackmd.io/@ShanC/Hk1mufmHC#/6/4)  --- <h2 class="text-center">中位數</h2> ---- ### 如何找中位數? 排序後取中間值，如果 $n$ 是偶數就中間兩者相加後除以 $2$ ```cpp int n = 5, ans; int arr[n] = {5, 1, 8, 6, 7}; sort(arr, arr + n); // 排序 if(n % 2 == 0) // 如果 n 是偶數 ans = (arr[n / 2] + arr[n / 2 - 1]) / 2; else // 如果 n 是奇數 ans = arr[n / 2]; cout << ans << '\n'; ``` --- <h2 class="text-center">微積分</h2> ---- ### 微分 $$ \begin{aligned} f(x) &= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2 + a_1x + a_0 \\ f'(x) &= na_{n}x^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + 2a_2x + a_1 \end{aligned} $$ ---- ### 積分微分反著做 ||自己去翻課本|| --- <h2 class="text-center">基本例題講解</h2> ----  <h3 class="text-left" > <a href="https://onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=24&page=show_problem&problem=1753">10812 - Beat the Spread!</a> </h3> 有兩支隊伍在比賽給你兩支隊伍的分數和與差的絕對值要你求出兩支隊伍的分數分別是多少 :::spoiler <font color=#191919>提示</font> 國中代數題 ::: ----  <h3 class="text-left" > <a href="https://onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=982">10041 - Vito's family</a> </h3> 給你數線上 $r$ 個點找出其中一點 $P$ 使其他點到 $P$ 的距離最近並求出其他點到 $P$ 的距離總和 :::spoiler <font color=#191919>提示</font> 找中位數 $m$，並找出大家跟 $m$ 的距離 ::: ----  <h3 class="text-left" > <a href="https://onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=242&page=show_problem&problem=3170">12019 - Doom's Day Algorithm</a> </h3> 給你日期，要算出此日期是 $2011$ 年的星期幾 :::spoiler <font color=#191919>提示</font> 可以把該年已經過了的天數加一加再 $mod ~7$ 就可以找出答案 ::: ----  <h3 class="text-left" > <a href="https://onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=24&page=show_problem&problem=2456">11461 - Square Numbers</a> </h3> 求兩數間有幾個完全平方數 :::spoiler <font color=#191919>提示</font> 因數字很小，可以建表來判斷是否是完全平方數也可以直接透過浮點入運算來判斷 ::: ----  <h3 class="text-left" > <a href="https://onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=12&page=show_problem&problem=997">10056 - What is the Probability?</a> </h3> 有 $n$ 人玩遊戲，每次獲勝機率 $p$ 如果遊戲沒人獲勝就繼續玩下去直到有玩家贏為止求第 $i$ 人獲勝的機率 ----  <h3 class="text-left" > <a href="https://onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=14&page=show_problem&problem=1209">10268 - 498-bis</a> </h3> 題目給 $n$ 次多項式降冪排列的係數與 $x$ 的值求其微分後的答案 ----  <h3 class="text-left" ><a href="https://onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=24&page=show_problem&problem=1012"> 10071 - Back to High School Physics </a></h3> 高中物理學過吧代公式即可 :::spoiler <font color=#191919>提示</font> $$ \begin{aligned} v_t &= v_0+at, a = vt \\ S_t &= \frac{d}{dt} \bigl[v_t\bigr] = v_0t + \frac{1}{2} at^2 \\ S_{2t} &= v_0(2t) + \frac{1}{2} a(2t)^{2} \\ &= 2t (\cancel{v_0} + \cancel{\frac{1}{2}} \times \cancel{2} at) \\ &= 2t(at) = 2vt \end{aligned} $$ ::: ----  <h3 class="text-left" ><a href="https://onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=24&page=show_problem&problem=2004"> 11063 - B2-Sequence </a></h3> 題目寫得很直白給你一串數字，看是否符合定義 --- 以上是本章內容 [題目連結](https://vjudge.net/contest/653052) <a href="https://github.com/ShanCisgood/cpp_for_uva" style="color: #191919">答案在這裡</a>