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# 校定必修 第二組
王博靚、陳首中、蔡承芫、張椿宥、李宸愷
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# 一、報告摘要
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探討接力賽中，要如何分配選手，以求得最短時間完賽。
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# 二、問題描述
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繞圈賽要完成n圈，每班派m人參加以接力賽的方式進行。每個人的圈數自訂。每人至少都要跑1圈，如何分配可使總共所花的時間最少？
<!-- 在接力競速比賽中，除了基本的速度練習外，最重要的即是該如何分配選手所跑的距離與休息時段，避免選手因體力問題，而讓速度降低。因此為了得到最好的成績，需要妥善分配選手順序，因此本研究對於速度不同的選手如何達成最短時間的分配，進行深入探討。 -->
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# 規則
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1. 假設第1個人要跑n圈，他可以1趟跑完，也可以分幾趟完成。但第1個人如果要分2趟跑，就要等所有人跑完第1趟。依此類推。
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2. 如果A第1趟跑第1圈的時間是$t_A$，因為他會越跑越累，因此我們假設他第$k$趟跑第$m$圈這一圈所花的時間是$t_A(1.2)^{(k-1)} (1.1)^{(m-1)}$，這3人如何分配每人的跑步的圈數，讓完成6圈所需的時間最少？
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# 題目
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若A跑一圈需要40秒，B跑一圈需要45秒，C跑一圈需要50秒，3人要合力跑完n圈，這3人如何分配每人跑步的圈數，讓完成n圈的秒數最短?
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<!-- .slide: style="font-size: 0.7em;" -->
# 三、解決方法與數學推論
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<!-- .slide: style="font-size: .7em;" -->
在第一圈跑$t_A$秒時所需的時間
| $趟＼圈$ | 1 | 2 | 3 |
|:--------:|:-------------------:|:-------------------:|:-------------------:|
| 一 | $t_A(1.2)^0(1.1)^0$ | $t_A(1.2)^0(1.1)^1$ | $t_A(1.2)^0(1.1)^2$ |
| 二 | $t_A(1.2)^1(1.1)^0$ | $t_A(1.2)^1(1.1)^1$ | $t_A(1.2)^1(1.1)^2$ |
| 三 | $t_A(1.2)^2(1.1)^0$ | $t_A(1.2)^2(1.1)^1$ | $t_A(1.2)^2(1.1)^2$ |
| 四 | $t_A(1.2)^3(1.1)^0$ | $t_A(1.2)^3(1.1)^1$ | $t_A(1.2)^3(1.1)^2$ |
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以下是三位選手隨著趟數和圈數跑一圈所需花的時間(以四捨五入到小數點後第三位)，以及時間排名。
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<!-- .slide: style="font-size: .7em;" -->
### A選手
| 趟/圈 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|:-----:|:------:|:-------:|:--------:|:--------:|:--------:|
| 1 | 40 | 44 | 48.4 | 53.24 | 58.564 |
| 2 | 48 | 52.8 | 58.08 | 63.888 | 70.2768 |
| 3 | 57.6 | 63.36 | 69.696 | 76.6656 | 84.33216 |
| 4 | 69.12 | 76.032 | 83.6352 | 91.99872 | 101.1986 |
| 5 | 82.944 | 91.2384 | 100.3622 | 110.3985 | 121.4383 |
| 趟/圈 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 1 | 64.4204 | 70.86244 | 77.94868 | 85.74355 | 94.31791 |
| 2 | 77.30448 | 85.03493 | 93.53842 | 102.8923 | 113.1815 |
| 3 | 92.76538 | 102.0419 | 112.2461 | 123.4707 | 135.8178 |
| 4 | 111.3185 | 122.4503 | 134.6953 | 148.1649 | 162.9813 |
| 5 | 133.5821 | 146.9404 | 161.6344 | 177.7978 | 195.5776 |
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<!-- .slide: style="font-size: .7em;" -->
### B選手
| 趟/圈 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|:-----:|:------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|
| 1 | 45 | 49.5 | 54.45 | 59.895 | 65.8845 |
| 2 | 54 | 59.4 | 65.34 | 71.874 | 79.0614 |
| 3 | 64.8 | 71.28 | 78.408 | 86.2488 | 94.87368 |
| 4 | 77.76 | 85.536 | 94.0896 | 103.4986 | 113.8484 |
| 5 | 93.312 | 102.6432 | 112.9075 | 124.1983 | 136.6181 |
| 趟/圈 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 1 | 72.47295 | 79.72025 | 87.69227 | 96.4615 | 106.1076 |
| 2 | 86.96754 | 95.66429 | 105.2307 | 115.7538 | 127.3292 |
| 3 | 104.361 | 114.7972 | 126.2769 | 138.9046 | 152.795 |
| 4 | 125.2333 | 137.7566 | 151.5322 | 166.6855 | 183.354 |
| 5 | 150.2799 | 165.3079 | 181.8387 | 200.0226 | 220.0248 |
----
<!-- .slide: style="font-size: .7em;" -->
### C選手
| 趟/圈 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|:-----:|:------:|:-------:|:--------:|:--------:|:--------:|
| 1 | 50 | 55 | 60.5 | 66.55 | 73.205 |
| 2 | 60 | 66 | 72.6 | 79.86 | 87.846 |
| 3 | 72 | 79.2 | 87.12 | 95.832 | 105.4152 |
| 4 | 86.4 | 95.04 | 104.544 | 114.9984 | 126.4982 |
| 5 | 103.68 | 114.048 | 125.4528 | 137.9981 | 151.7979 |
| 趟/圈 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 1 | 80.5255 | 88.57805 | 97.43586 | 107.1794 | 117.8974 |
| 2 | 96.6306 | 106.2937 | 116.923 | 128.6153 | 141.4769 |
| 3 | 115.9567 | 127.5524 | 140.3076 | 154.3384 | 169.7722 |
| 4 | 139.1481 | 153.0629 | 168.3692 | 185.2061 | 203.7267 |
| 5 | 166.9777 | 183.6754 | 202.043 | 222.2473 | 244.472 |
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<!-- .slide: style="font-size: .47em;" -->
### 選手各圈的排名
| 趟/圈 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|:-----:|:--:|:--:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| A選手 | | | | | | | | | | |
| 1 | 1 | 2 | 5 | 9 | 15 | 22 | 31 | 42 | 54 | 68 |
| 2 | 4 | 8 | 14 | 21 | 30 | 40 | 52 | 66 | 80 | 94 |
| 3 | 13 | 20 | 29 | 39 | 51 | 64 | 78 | 92 | 105 | 116 |
| 4 | 28 | 38 | 50 | 63 | 77 | 91 | 104 | 115 | 125 | 133 |
| 5 | 49 | 62 | 76 | 90 | 103 | 114 | 124 | 132 | 139 | 144 |
| B選手 | | | | | | | | | | |
| 1 | 3 | 6 | 11 | 17 | 25 | 35 | 46 | 59 | 73 | 87 |
| 2 | 10 | 16 | 24 | 33 | 44 | 57 | 71 | 85 | 99 | 111 |
| 3 | 23 | 32 | 43 | 55 | 69 | 83 | 97 | 109 | 120 | 129 |
| 4 | 41 | 53 | 67 | 81 | 95 | 107 | 118 | 127 | 135 | 141 |
| 5 | 65 | 79 | 93 | 106 | 117 | 126 | 134 | 140 | 145 | 148 |
| C選手 | | | | | | | | | | |
| 1 | 7 | 12 | 19 | 27 | 37 | 48 | 61 | 75 | 89 | 102 |
| 2 | 18 | 26 | 36 | 47 | 60 | 74 | 88 | 101 | 113 | 123 |
| 3 | 34 | 45 | 58 | 72 | 86 | 100 | 112 | 122 | 131 | 138 |
| 4 | 56 | 70 | 84 | 98 | 110 | 121 | 130 | 137 | 143 | 147 |
| 5 | 82 | 96 | 108 | 119 | 128 | 136 | 142 | 146 | 149 | 150 |
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# 四、建構數學模式
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<!-- .slide: style="font-size: .47em;" -->
### 三位選手隨著趟數和圈數跑一圈所需花的最短時間、時間排名
| n | 1 | 2 | 3 | 4$*$ | 5$*$ | 6$**$ | 7 | 8 | 9 |
|:----:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|
| 秒數 | 40 | 84 | 129 | 177.4 | 226.9 | 275.4 | 324.9 | 377.7 | 430.94 |
| A | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | (3,1) | (3,1) | (3,2) | (4,2) |
| B | | | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 2 |
| C | | | | | | 1 | 1 | 1 | 1 |
| | | | | | | | | | |
| n | 10 | 11 | 12 | 13$*$ | 14$*$ | 15$**$ | 16$**$ | 17 | 18 |
| 秒數 | 484.94 | 539.39 | 594.39 | 652.47 | 711.034 | 770.07 | 828.634 | 888.034 | 947.929 |
| A | (4,2) | (4,2) | (4,2) | (4,3) | (5,3) | (4,3,1) | (5,3,1) | (5,3,1) | (5,3,1) |
| B | (2,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,2) | (4,2) |
| C | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | (2,1) | (2,1) | (2,1) | (2,1) |
| | | | | | | | | | |
| n | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |
| 秒數 | 1008.429 | 1071.789 | 1135.677 | 1200.097 | 1264.897 | 1330.237 | 1396.122 | 1462.122 | 1528.672 |
| A | (5,3,1) | (5,3,2) | (5,4,2) | (6,4,2) | (6,4,2) | (6,4,2) | (6,4,2) | (6,4,2) | (6,4,2) |
| B | (4,2) | (4,2) | (4,2) | (4,2) | (4,2,1) | (4,3,1) | (5,3,1) | (5,3,1) | (5,3,1) |
| C | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,2) | (4,2) |
<i><span style="font-size:.3em;">以四捨五入到小數點後第三位</span></i>
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### 一般式
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#### 每人的圈數
因時間不足
所以我們尚未觀察到n與每人圈數的一般式。
#### 秒數
當圈數上升
所求的結果會接近此一般式帶入自變數n所得的應變數t。
$t = 0.4397n^2+45.262n-10.198$
此方程式為n=1~27時原數據所貼合的方程式
目前僅檢驗到n=27時之t。
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# 五、相關問題推廣研究與討論
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套用此方法，可計算出具有類似圈疲比及趟疲比性質的模式以計算出最大利益。
<!-- 透過此方法，除了推算接力賽的最短理想時間，以最有效的方式完賽，也可套用於其他運動項目，例如單車、游泳等。而在其他方面，可利用此結論運用在有類似於圈疲比及趟疲比概念的事物，比如可套用在計算工業製程上的產率以最取得最大利益，透過公式算出工人每工作單位時間會因體力問題而下降多少產量進而計算出每一輪的工時，達到最大產量。 -->
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# 六、結論
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上述方法可得知，在理想狀態，沒有外在因素干擾時，每人疲勞比固定，因此可算出每圈所花時間並求得最短時間完賽。
<!-- 我們從上述的數學想法中可以得出以下的結果:因為圈疲比和趟疲比是固定的，所以我們可以透過等比級數的想法清楚地列出所有人跑第n趟和第n圈的秒數為何，以計算和比較出最快跑完的方法。在我們假設的理想情況中，三個人跑一圈的秒數以及圈和趟的疲勞比都是定值，若延伸至現實中，相信有更多因素會影響一圈的秒數，趟和圈的疲勞比應該也會和趟數和圈數呈正相關。在各種不可預測的因素之下，三個人的圈數和趟數分配並非一件簡單的事。 -->
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# 七、製作人及分工
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<!-- .slide: style="text-align: left;" -->
王博靚：版面配置、格式修改及各項技術處理
陳首中：數學推論製作以及格式修改
蔡承芫：摘要製作、excel製作以及數學推論製作
張椿宥：相關問題討論製作以及結論修改
李宸愷：數學推論製作以及結論製作
它項未提及者則為共同製作
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