# 校定繞圈
## 一、報告摘要
在接力競速比賽中，除了基本的速度練習外，最重要的即是該如何分配選手所跑的距離與休息時段，避免選手因體力問題，而讓速度降低。因此為了得到最好的成績，需要妥善分配選手順序，因此本研究對於速度不同選手如何達成最短時間的分配，進行深入探討。
## 二、問題描述
繞圈賽要完成n圈，每班派3人參加以接力賽的方式進行。每個人跑步圈數由各班自訂。這$3$個人每人至少都要跑1圈，如何分配每個人的跑步圈數所花的時間最少？
規則:
1. 假設第1個人要跑$n$圈，他可以1趟跑完，也可以分幾趟完成。但第1個人如果要分2趟跑，就要等所有人跑完第1趟，他才可以接著跑第2趟。第1個人如果要分3趟跑，就要等所有人依序跑完第1趟及第2趟，他才可以接著跑第3趟。依此類推。
2. 如果A第1趟跑第1圈的時間是$t_A$，因為他會越跑越累，因此我們假設他第$k$趟跑第$m$圈這一圈所花的時間是$t_A(1.2)^{(k-1)} (1.1)^{(m-1)}$
### 題目一
若A跑一圈需要40秒，B跑一圈需要44秒，C跑一圈需要48秒，3人要合力跑完10圈，這3人如何分配每人跑步的圈數，讓完成10圈所需的時間最短?
### 題目三
若A跑一圈需要40秒，B跑一圈需要45秒，C跑一圈需要50秒，3人要合力跑完n圈，這3人如何分配每人跑步的圈數，讓完成n圈所需的時間最短?(n看小組可以做到多大，甚至是否可以得到一般式)
## 三、解決方法與數學推論
以下為趟數與圈數在第一圈跑$t_A$秒時所需的時間
|$趟數＼圈數$|1|2|3|4|5|6|
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
|一|$t_A(1.2)^0(1.1)^0$|$t_A(1.2)^0(1.1)^1$|$t_A(1.2)^0(1.1)^2$|$t_A(1.2)^0(1.1)^3$|$t_A(1.2)^0(1.1)^4$|$t_A(1.2)^0(1.1)^5$|
|二|$t_A(1.2)^1(1.1)^0$|$t_A(1.2)^1(1.1)^1$|$t_A(1.2)^1(1.1)^2$|$t_A(1.2)^1(1.1)^3$|$t_A(1.2)^1(1.1)^4$|$t_A(1.2)^1(1.1)^5$|
|三|$t_A(1.2)^2(1.1)^0$|$t_A(1.2)^2(1.1)^1$|$t_A(1.2)^2(1.1)^2$|$t_A(1.2)^2(1.1)^3$|$t_A(1.2)^2(1.1)^4$|$t_A(1.2)^2(1.1)^5$|
|四|$t_A(1.2)^3(1.1)^0$|$t_A(1.2)^3(1.1)^1$|$t_A(1.2)^3(1.1)^2$|$t_A(1.2)^3(1.1)^3$|$t_A(1.2)^3(1.1)^4$|$t_A(1.2)^3(1.1)^5$|
用以上表格可以列出三人跑每一趟每一圈所需的時間，並得知所有人跑的圈術與趟數之個別排名是相同的。
### 題目一
#### A選手
| $趟/圈$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|:-----:|:------:|:-------:|:--------:|:--------:|
| 1 | 40 | 44 | 48.4 | 53.24 |
| 2 | 48 | 52.8 | 58.08 | 63.888 |
| 3 | 57.6 | 63.36 | 69.696 | 76.6656 |
#### B選手
| $趟/圈$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|:-----:|:------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|
| 1 | 44 | 48.4 | 53.24 | 58.564 |
| 2 | 52.8 | 58.08 | 63.888 | 70.2768 |
| 3 | 63.36 | 69.696 | 76.6656 | 84.33216 |
#### C選手
| $趟/圈$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|:-----:|:------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|
| 1 | 48 | 52.8 | 58.08 | 63.888 |
| 2 | 57.6 | 63.36 | 69.696 | 76.6656 |
| 3 | 69.12 | 76.032 | 83.6352 | 91.99872|
#### 選手各圈的排名
| $趟/圈$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|:-----:|:--:|:--:|:---:|:---:|:---:|
| A選手 | | | | |
| 1 | 1 | 2 | 6 | 11 |
| 2 | 4 | 9 | 16 | 23 |
| 3 | 13 | 20 | 26 | 31 |
| B選手 | | | | |
| 1 | 2 | 6 | 11 | 18 |
| 2 | 8 | 15 | 22 | 29 |
| 3 | 19 | 26 | 31 | 35 |
| C選手 | | | | |
| 1 | 4 | 9 | 16 | 23 |
| 2 | 13 | 20 | 26 | 31 |
| 3 | 25 | 31 | 34 | 36 |
#### 當n=10圈時
最佳時間應該是A(3,2)B(2,1)C(2),排名1 2 6 4 9 2 6 8 4 9
總秒數=［（40+44+48.4）+（48+52.8）］+［（44+48.4）+（52.8）］+［（48+52.8）］=479.2
### 題目三
#### A選手
| $趟/圈$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|:-----:|:------:|:-------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|
| 1 | 40 | 44 | 48.4 | 53.24 | 58.564 | 64.4204 | 70.86244 | 77.94868 | 85.74355 | 94.31791 |
| 2 | 48 | 52.8 | 58.08 | 63.888 | 70.2768 | 77.30448 | 85.03493 | 93.53842 | 102.8923 | 113.1815 |
| 3 | 57.6 | 63.36 | 69.696 | 76.6656 | 84.33216 | 92.76538 | 102.0419 | 112.2461 | 123.4707 | 135.8178 |
| 4 | 69.12 | 76.032 | 83.6352 | 91.99872 | 101.1986 | 111.3185 | 122.4503 | 134.6953 | 148.1649 | 162.9813 |
| 5 | 82.944 | 91.2384 | 100.3622 | 110.3985 | 121.4383 | 133.5821 | 146.9404 | 161.6344 | 177.7978 | 195.5776 |
#### B選手
| $趟/圈$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|:-----:|:------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|
| 1 | 45 | 49.5 | 54.45 | 59.895 | 65.8845 | 72.47295 | 79.72025 | 87.69227 | 96.4615 | 106.1076 |
| 2 | 54 | 59.4 | 65.34 | 71.874 | 79.0614 | 86.96754 | 95.66429 | 105.2307 | 115.7538 | 127.3292 |
| 3 | 64.8 | 71.28 | 78.408 | 86.2488 | 94.87368 | 104.361 | 114.7972 | 126.2769 | 138.9046 | 152.795 |
| 4 | 77.76 | 85.536 | 94.0896 | 103.4986 | 113.8484 | 125.2333 | 137.7566 | 151.5322 | 166.6855 | 183.354 |
| 5 | 93.312 | 102.6432 | 112.9075 | 124.1983 | 136.6181 | 150.2799 | 165.3079 | 181.8387 | 200.0226 | 220.0248 |
#### C選手
| $趟/圈$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|:-----:|:------:|:-------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|
| 1 | 50 | 55 | 60.5 | 66.55 | 73.205 | 80.5255 | 88.57805 | 97.43586 | 107.1794 | 117.8974 |
| 2 | 60 | 66 | 72.6 | 79.86 | 87.846 | 96.6306 | 106.2937 | 116.923 | 128.6153 | 141.4769 |
| 3 | 72 | 79.2 | 87.12 | 95.832 | 105.4152 | 115.9567 | 127.5524 | 140.3076 | 154.3384 | 169.7722 |
| 4 | 86.4 | 95.04 | 104.544 | 114.9984 | 126.4982 | 139.1481 | 153.0629 | 168.3692 | 185.2061 | 203.7267 |
| 5 | 103.68 | 114.048 | 125.4528 | 137.9981 | 151.7979 | 166.9777 | 183.6754 | 202.043 | 222.2473 | 244.472 |
#### 選手各圈的排名
| 趟/圈 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|:-----:|:--:|:--:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| A選手 | | | | | | | | | | |
| 1 | 1 | 2 | 5 | 9 | 15 | 22 | 31 | 42 | 54 | 68 |
| 2 | 4 | 8 | 14 | 21 | 30 | 40 | 52 | 66 | 80 | 94 |
| 3 | 13 | 20 | 29 | 39 | 51 | 64 | 78 | 92 | 105 | 116 |
| 4 | 28 | 38 | 50 | 63 | 77 | 91 | 104 | 115 | 125 | 133 |
| 5 | 49 | 62 | 76 | 90 | 103 | 114 | 124 | 132 | 139 | 144 |
| B選手 | | | | | | | | | | |
| 1 | 3 | 6 | 11 | 17 | 25 | 35 | 46 | 59 | 73 | 87 |
| 2 | 10 | 16 | 24 | 33 | 44 | 57 | 71 | 85 | 99 | 111 |
| 3 | 23 | 32 | 43 | 55 | 69 | 83 | 97 | 109 | 120 | 129 |
| 4 | 41 | 53 | 67 | 81 | 95 | 107 | 118 | 127 | 135 | 141 |
| 5 | 65 | 79 | 93 | 106 | 117 | 126 | 134 | 140 | 145 | 148 |
| C選手 | | | | | | | | | | |
| 1 | 7 | 12 | 19 | 27 | 37 | 48 | 61 | 75 | 89 | 102 |
| 2 | 18 | 26 | 36 | 47 | 60 | 74 | 88 | 101 | 113 | 123 |
| 3 | 34 | 45 | 58 | 72 | 86 | 100 | 112 | 122 | 131 | 138 |
| 4 | 56 | 70 | 84 | 98 | 110 | 121 | 130 | 137 | 143 | 147 |
| 5 | 82 | 96 | 108 | 119 | 128 | 136 | 142 | 146 | 149 | 150 |
## 四、建構數學模式
以下是三位選手隨著趟數和圈數跑一圈所需花的最短時間(以四捨五入到小數點後第三位)，以及時間排名。
| n | 1 | 2 | 3 | 4$*$ | 5$*$ | 6$**$ | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13$*$ | 14$*$ | 15$**$ | 16$**$ | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |
|:----:|:--:|:--:|:---:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:------:|:------:|:------:|:------:|:-----------:|:-----------:|:-----------:|:-----------:|:-----------:|:-------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|
| 秒數 | 40 | 84 | 129 | 177.4 | 226.9 | 275.4 | 324.9 | 377.7 | 430.94 | 484.94 | 539.39 | 594.39 | 652.47 | 711.034 | 770.07 | 828.634 | 888.034 | 947.929 | 1008.429 | 1071.789 | 1135.677 | 1200.097 | 1264.897 | 1330.237 | 1396.122 | 1462.122 | 1528.672 |
| A | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | (3,1) | (3,1) | (3,2) | (4,2) | (4,2) | (4,2) | (4,2) | (4,3) | (5,3) | (4,3,1) | (5,3,1) | (5,3,1) | (5,3,1) | (5,3,1) | (5,3,2) | (5,4,2) | (6,4,2) | (6,4,2) | (6,4,2) | (6,4,2) | (6,4,2) | (6,4,2) |
| B | | | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 2 | (2,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,2) | (4,2) | (4,2) | (4,2) | (4,2) | (4,2) | (4,2,1) | (4,3,1) | (5,3,1) | (5,3,1) | (5,3,1) |
| C | | | | | | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | (2,1) | (2,1) | (2,1) | (2,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,2) | (4,2) |
跳過以及加回排名多少是指規則一所敘述的，當A要跑第二趟時，必須等B和C兩人都跑完第一趟，所以在不違反規則一的條件下，為了求最短的時間，必須跳過較高的排名，以上表格有$*$之處即為有跳過之處，有$**$之處為接下來會講到的跳過不同於$*$跳過之處的地方。
例如：
#### 當n=4圈時
最佳時間應該是A(2,1)B(1)C(0),排名1 2 4 3
總秒數=［（40+44）+（48）］+［（45）］=177
但這違反了規則一，所以我們取A(3)B(1)C(0),排名1 2 5 3
總秒數=［（40+44+48.4）］+［（45）］=177.4
#### 當n=5圈時
最佳時間應該是A(3,1)B(1)C(0),排名1 2 5 4 3
總秒數=［（40+44+48.4）+（48）］+［（45）］=225.4
但這違反了規則一，所以我們取A(3)B(2)C(0),排名1 2 5 3 6
總秒數=［（40+44+48.4）］+［（45+49.5）］=226.9
#### 當n=6圈時
最佳時間應該是A(3,1)B(2)C(0),排名1 2 5 4 3 6
總秒數=［（40+44+48.4）+（48）］+［（45+49.5）］=274.9
但這違反了規則一，所以我們取A(3)B(2)C(1),排名1 2 5 3 6 7
總秒數=[ (40+44+48.4) ]+[ (45+49.5) ]+[ (50) ]=276.9
但這又非最少的秒數,所以我們取A(3,1)B(1)C(1),排名1 2 5 4 3 7
總秒數=［（40+44+48.4）+(48)］+［（45）］+[ (50) ]=275.4
### 一般式
#### 每人的圈數
因時間不足，所以我們尚未觀察到n與每人圈數的一般式。
#### 秒數
當圈數上升，所求的結果會接近此一般式帶入自變數n所得的應變數t。
$t = 0.4397n^2+45.262n-10.198$
此方程式為n=1~27時原數據所貼合的方程式，目前僅檢驗到n=27時之t。
## 五、相關問題推廣研究與討論
透過此方法，除了推算接力賽的最短理想時間，以最有效的方式完賽，也可套用於其他運動項目，例如單車、游泳等。而在其他方面，可利用此結論運用在有類似於圈疲比及趟疲比概念的事物，比如可套用在計算工業製程上的產率以最取得最大利益，透過公式算出工人每工作單位時間會因體力問題而下降多少產量進而計算出每一輪的工時，達到最大產量。
## 六、結論
我們從上述的數學想法中可以得出以下的結果:因為圈疲比和趟疲比是固定的，所以我們可以透過等比級數的想法清楚地列出所有人跑第n趟和第n圈的秒數為何，以計算和比較出最快跑完的方法。在我們假設的理想情況中，三個人跑一圈的秒數以及圈和趟的疲勞比都是定值，若延伸至現實中，相信有更多因素會影響一圈的秒數，趟和圈的疲勞比應該也會和趟數和圈數呈正相關。在各種不可預測的因素之下，三個人的圈數和趟數分配並非一件簡單的事。
## 七、製作人及分工
王博靚：版面配置、格式修改及各項技術處理
陳首中：解決方法及數學推論製作及格式修改
蔡承芫：摘要製作以及excel製作
張椿宥：相關問題討論製作
李宸愷：結論製作
它項未提及者則為共同製作
{"metaMigratedAt":"2023-06-15T13:30:57.779Z","metaMigratedFrom":"Content","title":"校定繞圈","breaks":true,"contributors":"[{\"id\":\"5a792887-fd70-40e7-b60a-f01faed56f7e\",\"add\":9885,\"del\":1629},{\"id\":\"6d8ffa16-3e9e-4195-9589-338a61d888bb\",\"add\":2309,\"del\":773},{\"id\":\"5b98ba9d-41fa-43ba-a6cd-1e87b1d1fbc0\",\"add\":1096,\"del\":1082}]"}