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description: 線代 Linear Algebra
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# 線代 Linear Algebra

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Syllubus
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Before
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- 事先跟老師 email 約時間
- 這學期課本用第十版，要用第九版也可以

關於分數
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- 期中期末各 50%
- 考試日
- 4/12
- 6/7
- Openbook
- 紙本資料都可以
- 滿分 120~130，超過 100 以 100 計
- 考試日請假下周可以補考
- 線上小考 30%
- 使用 Moodle
- 會限時間(ex. 20 min 完成)
- 週四公布
- 滿分 15，超過 10 分以 10 分計
- 未到有請假，就可以不算當次成績

線性系統
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- 線性方程式
- 所有 $x_n$ 都是一次的函式
- $a_1x_1+a_2x_2+ ... + a_nx_n = b$
- consistent(一致的)
- 有一組解
- inconsistent(不一致的)
- 無解
- solution set
- 有多組解
- equivalent
- 有一樣的解集合
- strict triangular form
- 
- back substitution
- 適用於 strict triangular form
- 由最後一行（只有一個 $x_n$）開始解，解完後依序代回上面幾行
- coefficient matrix
- 矩陣
- augmented matrix
- 增廣矩陣
- 基本三大運算法（elementary row operations）
- 交換兩列
- 把一列乘上一個不為 0 的常數
- 把一列加到另一列上
- row echelon form
- 第一個不為 0 的係數要是 1
- 下一列的 leading zero 要比上一列多
- 全為零的放最下面

名詞速查
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| 原文 | 釋義 |
| ------------------------------ | --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| inconsistent | 指線性系統無解 |
| consistent | 指線性系統有解(一組或無限多組) |
| equivalent | 有同樣的解集合 |
| strict triangular form | 左下半部都是0， 第 k 行的第 k 個開始不為零 |
| back substitution | 把 x5 解開後代入 x4 + x5 = c 解出 x4 這種求解法 |
| coefficient matrix | 只有係數的矩陣 |
| augmented matrix | 含常數項的矩陣 |
| elementary row operation | 基本列運算：交換兩列的位置、將一列乘上 k 倍 (k != 0)、將一列乘上 k 倍加到另一列上 |
| row echelon form | (i) The first nonzero entry in each row is 1.<br>(ii) If row k does not consist entirely of zeros, the number of leading zero entries in row k + 1 is greater than the number of leading zero entries in row k.<br>(iii)If there are rows whose entries are all zero, they are below the rows having nonzero entries. |
| Gaussian elimination | 使用 elementary row operation 將一個矩陣轉成 row echelon form |
| overdetermined | 過多的方程式 (m > n)，**通常**會是 inconsistent |
| underdetermined | 方程式不足，如果有解就會有無限多組 |
| reduced row echelon form | row echelon form + row 裡面第一個 nonzero 是那個 column 裡面唯一一個 nonzero |
| Gauss-Jordan reduction | 使用 elementary row operation 將一個矩陣轉成 reduced row echelon form |
| homogeneous | 線性系統的常數項都是 0 (也就是說 0 是一個解) |
| Nontrivial | 不 trivial，指非全為零 (0,0,0,...) 的解 |
| $a_{ij}$ | 第 i row 的第 j 個 column 的 entry |
| vector | 一個 row 或一個 column 的矩陣 |
| Euclidean n-space / $R^n$ | 由所有 n * 1 矩陣組成的集合 |
| equal | 兩個矩陣的每一個 entry 都相等 |
| Ax | 將 x (n * 1 矩陣) 帶入 A 矩陣，寫成 Ax = b 表示常數項是 b (常數 or n * 1 常數矩陣) |
| scalar product | Ax 運算 |
| linear combination | $c_1a_1 + c_2a_2 + ... + c_na_n$ of the vectors of a1, a2, ... , an |
| transpose / $A^T$ | 延左上右下線翻轉矩陣 (m * n => n * m) |
| symmetric | $A^T = A$ |
| I (identity matrix) | i = j 時 $a_{ij} = 1$，否則 $a_{ij} = 0$ |
| inverse，$A^{-1}$ | $AA^{-1} = I$ |
| nonsingular (invertible) | $A^{-1}$ 存在 |
| multiplicative inverse | 一個矩陣的反矩陣 ($A^{-1}$)，只會有一個 |
| singular | $A^{-1}$ 不存在 |
| premultiplying A by E | EA |
| postmultiplying B by E | BE |
| row equivalent | 可以用有限步的 elementary row operation 把 A 轉成 B，$B = E_kE_{k–1}...E_1A$ |
| upper triangular | 左下半部(i>j)都是0 |
| lower triangular | 右上半部(i<j)都是0 |
| triangular | 是 upper triangular 或 lower triangular |
| diagonal | 斜線以外(i != j)都是0 |
| matrix factorization | 只用 row operation III 把 A 轉成 upper triangular (U) |
| LU factorization | 把 A 拆成一個 lower triangular (L) 乘上一個 upper triangular (U)，A = LU |
| scalar product / inner product | 內積，$x^Ty$ <br>  |
| outer product | 外積，$xy^T$ <br>  |
| outer product expansion | $XY^T$ |
| determinant / det(A) | det(A) != 0 則 A 為 nonsingular <br>  |
| minor / $M_{ij}$ | A 去掉第 i row 及第 j column 後的矩陣 |
| cofactor / $A_{ij}$ |  |
| adjoint，adj A |  <br> 注意 row / column 是相反的 <br>  |
| Cramer’s Rule |  <br> x 必須是唯一解 |
| vector space | closure properties 在所有成員上都成立的集合 |
| closure properties |  |
| $R^{m \times n}$ | 所有 m x n 矩陣組成的集合 (矩陣的所有 entry 都是實數) |
| $P_n$ | 所有 degree 小於 n 的 polynomial (多項式) |
| subspace | S 是 V 的子集合且 closure properties 在 S 內成立，則 S 是 V 的 subspace |