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title: 數列與級數
tags: [math]

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數列與級數
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## 等差數列與級數

### 等差數列

$a_n=a_1+(n-1)\times d$

### 等差級數

$S_n=\frac{(a_1+a_n)\times n}{2}=\frac{[2a_1+(n-1)\times d]\times n}{2}$

### 等差中項

1. 若$a,b,c$為等差數列，則$b$為等差中項且$b=\frac{a+c}{2}$。
2. 若有一等差數列$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$，則$a_{\frac{n+1}{2}}$為等差中項且$a_{\frac{n+1}{2}}=\frac{a_1+a_n}{2}=\frac{a_2+a_{n-1}}{2}=\frac{a_3+a_{n-2}}{2}=\cdots$
3. 已知$a_m$為等差中項，則$S_n=n\times a_m$

## 等比數列與級數

### 等比數列

$a_n=a_1\times r^{n-1}$

### 等比級數

$S_n=\frac{a_1\times (r^n - 1)}{r-1}=\frac{a_1\times (1 - r^n)}{1-r}$

### 等比中項

1. 若$a,b,c$為等比數列，則$b$為等比中項且$b^2=a\times c$。
2. 若有一等比數列$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$，則$a_{\frac{n+1}{2}}$為等比中項且${a_{\frac{n+1}{2}}}^2=a_1 \times a_n=a_2\times a_{n-1}=a_3 \times a_{n-2}=\cdots$
3. 已知$a_m$為等差中項，則$S_n={a_m}^n$

### 單利與複利

利息的計算方式：$I=M\times r$，$I$為利息、$M$為總額、$r$為利率。

單利與複利的差別在**總額的認定**，單利所認定的總額為**本金**，複利所認定的總額為**本利和**。

**本利和=本金+利息*

若本金為$x$且每期利率為$r\%$，過了$n$期後：

|      |       利息       |    本利和    |
|:----:|:----------------:|:------------:|
| 單利 |     $nxr\%$      | $x(1+nr\%)$  |
| 複利 | $x(1+r\%)^n - x$ | $x(1+r\%)^n$ |


## 遞迴關係式

### 數列的表示方式

1. 一般式(通式)：用$n$表示$a_n$，例：$a_n=3+2n$。
2. 遞迴關係式：

    例：$\left\{
            \begin{matrix}
                a_1 &=& 1\\
                a_n &=& a_{n-1} + 3&, n \geq 2 
            \end{matrix}
        \right.$

    完整的遞迴關係式包含兩個部分：
    1. $a_1$的值
    2. $a_n$與$a_{n-1}$的關係式

### 一般式與遞迴關係式的互換

1. 等差數列
2. 等比數列
3. *特殊型：

    例：$\left\{
            \begin{matrix}
                a_1 &=& 3\\
                a_n &=& 2a_{n-1} + 1&, n \geq 2 
            \end{matrix}
        \right.$

## 級數求和

$1+2+3+\cdots+n=\frac{n\times(n+1)}{2}$

$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n\times (n+1) \times (2n+1)}{6}$

$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=[\frac{n\times(n+1)}{2}]^2$

## 數學歸納法

證明步驟：

1. 初始性：將初始值(通常為$1$)帶入，確定初始值會成立。
2. 繼續性：先假設第$k$項會成立，並證明第$k$項成立的情形下，第$k+1$項會成立。