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title: 數與式
tags: [math, high-school]

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數與式
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- [name=Big Potato]
- [time=Jun 29, 2024]

## 數系

``` mermaid
graph TD;
實數-->有理數;
實數-->無理數;
有理數-->整數;
有理數-->有限小數;
有理數-->循環小數;
```

## 有理數

有理數的定義：若一實數能表示成$\frac{q}{p}$且$p,q$為兩互質的整數，則為有理數。

### 有限小數

有限小數的判斷：若一**最簡**分數之分母可表示成$2^n\times 5^n$且$n$為非負整數，則為有限小數。

### 循環小數

循環小數與分數的轉換

### 數系的性質

1. 稠密性
2. 封閉性

## 無理數

### 無理數的性質

若$a\sqrt{2}+b=c\sqrt{2}+d$且$a,b,c,d\in \mathbb{Q}$，則$a=b$且$c=d$。

### 無理數與尺規作圖

若無理數為$a^{\frac{k}{2^n}},a,k\in \mathbb{Q},k\in \mathbb{Z}-\mathbb{Z^-}$的形式，則可用尺規作圖找出對應的數。其餘無理數皆無法利用尺規作圖畫出。

### 無理數比大小

1. 近似值
2. 平方
3. 平方變形

### 雙重根號的化簡

$\sqrt{(a+b)\pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$

## 乘法公式

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$


## 分點公式

若數線上有三點$A(a),B(b),C(c)$，且$C$在$\overline{AB}$上。已知$\overline{AC}:\overline{BC}=m:n$，則$c=\frac{na+mb}{m+n}$。

## 算幾不等式

若$a,b\geq 0$，則$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。且若$a=b$，則$\frac{a+b}{2}= \sqrt{ab}$。

## 絕對值

### 絕對值的幾何意義

$|a-b|$的幾何意義為$a$到$b$的距離。

### 絕對值方程式與不等式

**絕對值方程式與不等式的解法(3D)**

1. **Direct** 直接解
2. **Distance** 距離
3. **Discuss** 分段討論