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# System prepended metadata

title: 'Calcul de la variance de l''opérateur $\hat{\omega}_1$'
tags: [Remarques sur les calculs de variances]

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tags: Remarques sur les calculs de variances
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Début préambule à ne pas modifier
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$$
\def\moy#1{{\langle #1 \rangle}}
\def\abs#1{{\left|#1\right|}}
\def\dd{\mathrm{d}}
\def\ed{\mathrm{e}}
\def\norm#1{{\parallel #1 \parallel}}
\def\ket#1{{| #1 \rangle}}
$$
# Calcul de la variance de l'opérateur $\hat{\omega}_1$
A l'aide de ton équation 176, 
on peut écrire que 
$$
\moy{\hat{\omega}^2}_{\ket{\psi}} = \frac{1}{2}\left( \moy{\omega_1^2} + \moy{\omega_2^2}\right)
$$
où j'ai les moyenne $\moy{}$ sans le  "chapeau" sur les variables  désignent des moyennes de variables aléatoires suivant la distribution de probabilité $\abs{f(\Omega)}^2$. 
Et j'ai noté $\omega_1 = \omega_1^0 + \Omega$ ainsi que  $\omega_2 = \omega_2^0 - \Omega$
Et toujours avec ton Eq. 176, on peut écrire que

$$
\moy{\hat{\omega}_1}^2_{\ket{\psi}} = \frac{1}{4}\moy{\omega_1 + \omega_2}^2
$$

J'ai aussi supposé que $\Delta$ était suffisament grannd pour négliger le terme que Ursin néglige.

Après calcul, on obtient finalement que

$$
\text{Var}[\hat{\omega}_1]_{\ket{\psi}} =  \frac{1}{2}\text{Var}[\omega_1] + \frac{1}{2}\text{Var}[\omega_2] + \frac{1}{4}\moy{\omega_2-\omega_2}^2 
$$
soit
$$
\text{Var}[\hat{\omega}_1]_{\ket{\psi}} = \text{Var}[\Omega] +\frac{1}{4}\Delta^2
$$