<!--
Début préambule à ne pas modifier
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$$
\def\moy#1{{\langle #1 \rangle}}
\def\abs#1{{\left|#1\right|}}
\def\dd{\mathrm{d}}
\def\ed{\mathrm{e}}
\def\norm#1{{\parallel #1 \parallel}}
\def\ket#1{{| #1 \rangle}}
$$

# Quantum Metrology in phase space

dans tes notes tu as défini
$$
b_i = \int d\omega U_i(\omega)a(\omega)
$$
de mon coté je suis parti de la relation
$$
b_i = \sum_{m} \int d\omega U_{im}(\omega)a_m(\omega).
$$
$m,i$ sont des entiers. Il peut y avoir une infinité de modes et c'est l'état qui va sélectionner les 2 "bon" modes, n'est-ce pas ?

En fait c'est la relation inverse que j'ai utilisée :
$$
a^\dagger_m(\omega) = \sum_{i} U_{mi}(\omega)b^\dagger_i
$$
En effet, les $U_i(\omega)$ vérifient les relations suivantes :
$$
\sum_m\int U_{im}(\omega)\overline{U}_{jm}(\omega)d\omega = \delta_{ij}
$$
et
$$
\sum_{i} U_{im}(\omega)\overline{U}_{in}(\omega') = \delta_{mn}\delta(\omega-\omega')
$$

On écrit l'opérateur $\hat{\Omega}$ définit sur les $a_m$
$$
\hat{\Omega} = \sum_m \int d\omega\omega a^\dagger_ma_m(\omega),
$$
sur les $b_i$, on obtient :
$$
\hat{\Omega} = \sum_{i,j}\sum_m \int d\omega \omega U_{im}(\omega)\overline{U}_{jm}(\omega) b^\dagger_ib_j
$$

On calcule la moyenne, sur un état pur qui dont seul deux modes $b_1$ et $b_2$ sont peuplés :
$$
\moy{\hat{\Omega}} = \sum_{i,j=1}^2\int d\omega \omega\sum_m U_{im}(\omega)\overline{U}_{jm}(\omega) \moy{b^\dagger_ib_j}
$$
à ce stade, on peut restreindre la somme sur les $i,j=1,2$, puisque l'état ne contient que ces deux modes.
De plus comme la matrice $2\times 2$, $\moy{b^\dagger_ib_j}$ est hermitienne, on peut diagonaliser cette matrice à l'aide d'une matrice unitaire, que l'on aurait pu inclure dans la définition de $U_{im}(\omega)$. C'est à dire que l'on peut toujours choisir $U_{im}$, de telle sorte que $\moy{b^\dagger_ib_j} = \moy{\hat{N}_i}\delta_{ij}$, où $\hat{N}_i=b^\dagger_ib_i$. On pourra donc écrire :
$$
\moy{\hat{\Omega}} = \sum_{i=1}^2\moy{\hat{N}_i}_\ket{\psi}\int d\omega \omega\sum_m \abs{U_{im}(\omega)}^2 = \sum_{i=1}^2\moy{\hat{N}_i}_\ket{\psi}\moy{\omega}_{p_i}
$$
où $\moy{\omega}_{p_i}$ est la moyenne de $\omega$ prise sur la distribution de probabilité $p_i(\omega)$ définie par
$$
p_i(\omega) = \sum_m \abs{U_{im}(\omega)}^2
$$
qui est bien une distribition de probabilité puisque
$$
\int d\omega p_i(\omega) = \int d\omega \sum_m \abs{U_{im}(\omega)}^2 = 1
$$
en vertu des propriétés des $U_{im}(\omega)$ données plus haut.