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# System prepended metadata

title: Calcul du commutateur
tags: [Calculs avec Kilian]

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tags: Calculs avec Kilian
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Début préambule à ne pas modifier
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$$
\def\moy#1{{\langle #1 \rangle}}
\def\abs#1{{\left|#1\right|}}
\def\dd{\mathrm{d}}
\def\ed{\mathrm{e}}
\def\norm#1{{\parallel #1 \parallel}}
\def\ket#1{{| #1 \rangle}}
\def\bra#1{{\langle #1|}}
$$

# Calcul du commutateur

On souhaite calculer 
$$
C = [a^\dagger(\omega)B^\dagger(\omega),a(\omega')B(\omega')]
$$
on a noté $a_A(\omega) = a(\omega)$

on développe~:
$$
C = a^\dagger(\omega)a(\omega')B^\dagger(\omega)B(\omega') - a(\omega')a^\dagger(\omega)B(\omega')B^\dagger(\omega)
$$
puisque que $a(\omega)$ et $a^\dagger(\omega)$ commute avec $B(\omega'$ et $B^\dagger(\omega')$.

On utilise $a(\omega') a^\dagger(\omega) = a^\dagger(\omega)a(\omega') +\delta(\omega'-\omega)$, on obtient
$$
C = a^\dagger(\omega)a(\omega')B^\dagger(\omega)B(\omega') - [a^\dagger(\omega)a(\omega') +\delta(\omega'-\omega)]B(\omega')B^\dagger(\omega)
$$
et donc
$$
C= a^\dagger(\omega)a(\omega')[B^\dagger(\omega),B(\omega')] - \delta(\omega'-\omega)B(\omega)B^\dagger(\omega)
$$