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title: L3PAPP -- Mathématiques -- TD5
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# L3PAPP -- Mathématiques -- TD5
## Exercice  3
<!--
Début préambule à ne pas modifier
-->
$$
\def\moy#1{{\langle #1 \rangle}}
\def\abs#1{{\left|#1\right|}}
\def\dd{\mathrm{d}}
\def\ed{\mathrm{e}}
$$
<!--
Fin Préambule à ne pas modifier
-->
## Exercice  3
### 1/ Intégrales de Fresnel
On considère la fonction $f(z)=e^{i\frac{z^2}{2}}$. Étudier
$\oint_{\Gamma_R} dz f(z)$ où le contour est
$\Gamma_R = [0,R]\cup\{R e^{i \theta}, \theta \in [0,\frac\pi 4]\}\cup \{t e^{i \frac{\pi}{4}}, t\in[R,0]\}$.
Déduire:
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \cos(x^2)\dd x = \int_{-\infty}^{+\infty} \sin(x^2) \dd x =  \sqrt{\frac \pi 2} 
$$

---

On montre que : 
$$
\lim_{R \rightarrow \infty} \int_{C_R} f(z)\dd z = 0
$$
où $C_R$ est l'arc de cercle $C_R=\{z=R e^{i \theta}, \theta \in [0,\frac\pi 4]\}$.

Le lemme de Jordan n'est pas suffisant. En effet,
$$
\abs{zf(z)} = \abs{Re^{i\theta} \ed^{i\frac{R^2}{2}\ed^{i2\theta}}} = R\ed^{-\frac{R^2}{2}\sin(2\theta)}
$$
On a bien $\lim_{R\rightarrow \infty} R\ed^{-\frac{R^2}{2}\sin(2\theta)} = 0$, $\forall \theta \in ]0,\frac{\pi}{4}[$, mais il y a un problème lorsque $\theta = 0$, ou $\theta=\frac{\pi}{4}$; Dans ces cas, $\abs{zf(z)}=R$, et la limite n'est pas nulle mais infinie.

Il faut donc une majoration plus fine du module de l'intégrale sur l'arc de cercle. Notons $I(R)$ ce module : 

$$
I(R) = \abs{\int_{C_R} \ed^{iz^2/2}\dd z} = R\int_{0}^{\pi/4}\ed^{-\frac{R^2}{2}\sin(2\theta)}\dd \theta 
$$

Il n'est pas très difficle de montrer que 

$$\sin(\theta)\geq \frac{2}{\pi}\theta;\quad \forall \theta\in [0,\pi/2]$$

En effet, il suffit de faire un graphe de la fonction $\sin(\theta)$ en fonction de $\theta$, et de le superposer au graphe de la fonction $g(\theta) = \frac{2}{\pi}\theta$. Ce dernier est une droite qui passe par les points $(0,0)$ et $(\pi/2,1)$. Le graphe de $\sin\theta$, est toujours au dessus du segment allant du point $(0,0)$ au point $(\pi/2,1)$ (ceci car la fonction $\sin(\theta)$ est convexe sur l'intervalle $\theta\in [0,\pi/2]$).

On en déduit que : 

$$\sin(2\theta)> \frac{4}{\pi}\theta;\quad \forall \theta\in [0,\pi/4]$$

On peut donc majorer l'exponentielle : 
$$\ed^{-\frac{R^2}{2}\sin(2\theta)} \leq \ed^{-\frac{R^2}{2}\frac{4}{\pi}\theta}$$ 
et donc
$$
I(R) \leq R\int_{0}^{\pi/4}\ed^{-R^2\frac{2}{\pi}\theta}\dd \theta 
$$
On peut calculer cette intégrale, et on obtient :
$$
I(R) \leq \frac{\pi}{2} \left(\frac{1-\ed^{-\frac{R^2}{2}}}{R}\right) 
$$
qui tend bien vers zéro quand $R\rightarrow \infty$.
### 2/ Transformée de Fourier de la gaussienne

On pose : 
$$f(z) = \exp\left(-\frac{1}{2} z^2\right)$$

1. Montrer que $f(z)$ est une fonction holomorphe sur $\mathbb{C}$.

$h(z)= -\frac{1}{2}z^2$ est une fonction holomorphe sur tout $\mathbb{C}$ et $g(z) = \exp(z)$ est aussi une fonction holomorphe sur tout $\mathbb{C}$. La composition des deux fonction $g(h(z))$ est donc aussi holomorphe sur $\mathbb{C}$.

2. Soit $R > 0$ et soit $y_0 \in \mathbb{R}^*$. Soit le chemin $\gamma = \gamma_1 \cup \gamma_2 \cup \gamma_3 \cup \gamma_4$ parcouru dans le sens direct
avec
— $\gamma_1 = [−R, +R]$ ;
— $\gamma_2 = [R, R + iy_0 ]$;
— $\gamma_3 = [R + iy_0 , −R + iy_0 ]$;
— $\gamma_4 = [−R + iy_0 , −R]$.

Montrer que
$$\lim_{R\rightarrow +\infty} \int_{\gamma_2}f(z)= \lim_{R\rightarrow +\infty} \int_{\gamma_4}f(z)= 0$$


$\gamma_2 : z(t) = R + it;\quad t\in[0,y_0]$. Donc $\frac{dz}{dt}=i$

$$I_2(R) = \int_{\gamma_2} f(z) dz = \int_{0}^{y_0}i\exp[-\frac{1}{2}(R^2-t^2)]
\exp(-iRt)dt$$


$$\abs{I_2}\leq  \int_{0}^{y_0}\abs{i\exp[-\frac{1}{2}(R^2-t^2)]\exp(-iRt)dt} = \int_{0}^{y_0}\exp[-\frac{1}{2}(R^2-t^2)]
dt$$

Donc
$$\abs{I_2} \leq  \int_{0}^{y_0}\exp[-\frac{1}{2}(R^2-t^2)]dt =\exp[-\frac{1}{2}(R^2)]\int_{0}^{y_0}\exp[\frac{1}{2}(t^2)]dt$$
qui tend bien vers zéro quand $R$ tend vers $\infty$.



3. En déduire, grâce à un choix pertinent de l’ordonnée $y_0$, que:
$$\mathcal{F}[g](k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} dx g(x)e^{-ikx} = g(k)\quad \text{pour } g(x) = e^{-\frac{1}{2}x^2}$$


$$\int_{\gamma(R)} f(z) =  0, \forall R \in \mathbb{R}^+$$

$$\lim_{R\rightarrow \infty} [\int_{\gamma_1}f(z) dz + \int_{\gamma_3}f(z) dz] = 0
$$

Or sur $\gamma_1$: $z = x; \quad x\in [-R,R]$
$$
\lim_{R\rightarrow \infty} \int_{\gamma_1} f(z)dz = \int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-\frac{x^2}{2}) dx
$$

Sur $\gamma_3$ : $z = x+iy_0, \quad x:R \rightarrow -R$, $dz/dx = 1$.

$$
\lim_{R\rightarrow \infty} \int_{\gamma_3} f(z)dz = -\exp(\frac{y_0^2}{2})\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-\frac{x^2}{2})\exp(-ixy_0) dx
$$

avec $k=y_0$, on obtient
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-\frac{x^2}{2})\exp(-ikx) dx =
\exp(-\frac{k^2}{2})\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-\frac{x^2}{2}) dx
$$

Sachant que
$\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-\frac{x^2}{2}) = \sqrt{2\pi}$,
on obtient le résultat souhaité.


$$
\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-\frac{x^2}{2})\exp(-ikx) dx =
\exp(-\frac{k^2}{2})\sqrt{2\pi}
$$