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# System prepended metadata

title: Calcul de $S^\dagger a_A(\omega)S$
tags: [Calculs avec Kilian]

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tags: Calculs avec Kilian
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Début préambule à ne pas modifier
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$$
\def\moy#1{{\langle #1 \rangle}}
\def\abs#1{{\left|#1\right|}}
\def\dd{\mathrm{d}}
\def\ed{\mathrm{e}}
\def\norm#1{{\parallel #1 \parallel}}
\def\ket#1{{| #1 \rangle}}
\def\bra#1{{\langle #1|}}
$$

# Calcul de $S^\dagger a_A(\omega)S$

Pour continuer ton calcul, tu peux introduite la fonction 
$$
g(\omega,\omega_1) = \int d\omega_2 f(\omega,\omega_2)f^*(\omega_1,\omega_2)
$$
où j'ai noté $f$ la JSA.
On peut remarquer que $g(\omega',\omega) = g^*(\omega,\omega')$, je ne sais pas si c'est utile... 
Cette fonction $g$ est la même (je crois) que celle qui apparait quand on fait une décomposition de Schmidt pour des variables continues, à vérifier ... 


dans ce cas tes relations de récurrence se lisent plus facilement

$$
C_{2n+2}(\omega) = \int d\omega_1 g(\omega,\omega_1) C_{2n}(\omega_1)
$$
et la même relation pour les C_{2n+1}(\omega)

on peut définir le produit de "convolution" $g \star g$ tel que
$$
[g \star g](\omega,\omega') = \int d\omega_1 g(\omega,\omega_1)g(\omega_1,\omega')
$$
et definir la puissance de convolution $g^{\star n}$ commme
$$
[g^{\star n}](\omega,\omega') = \iiint  g(\omega,\omega_n)g(\omega_n,\omega_{n-1})\cdots g(\omega_1,\omega')\Pi_{i=1}^nd\omega_i
$$

tu pourras donc écrire que
$$
S^\dagger a_A(\omega) S = \left[\sum_{p=0}^{+\infty} \frac{g^{\star p}}{(2p)!}\right] \star a_A(\omega)  + \left[\sum_{p=0}^{+\infty} \frac{g^{\star p}}{(2p+1)!}\right]\star B^{\dagger}(\omega)
$$

Dans certains cas particuliers on peut espérer calculer ces produits de convolution itérés. Par exemple, si $g(\omega,\omega')$ ne dépend que de $\omega-\omega'$ (invariance par translation), alors en prenant la transormée de Fourier,
la convolution $g\star g$ se transforme un produit des transformées de Fourier.
On pourra donc calculer explicitement les series dans ce cas.

Si le $g$ sont des gaussiennes, on doit peut être aussi pouvoir avancer un peu ?



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Revenons à la décompositon de Schmidt. On avait vu qu'on pouvait considérer que $g$ était le noyau intégral d'un opérateur hermitien, c'est à dire que
$$
g(\omega,\omega') = \bra {\omega} G \ket{\omega' }
$$
où $G$ est hermitien, puisque $g(\omega',\omega) = g^*(\omega,\omega')$.

Supposons qu'on obtienne les vecteurs propres  $\ket{\psi_n}$ de $G$, c'est à dire~:
$$
G\ket {\psi_n} = \lambda_n\ket{\psi_n}
$$
ou encore
$$
\int d\omega_1 g(\omega,\omega_1)\psi_n(\omega_1) = \lambda_n \psi_n(\omega)
$$
où on normalise les $\ket{\psi_n}$. Comme $G$ est hermitien, les vecteurs propres sont orthogonaux.

Il suffira alors de décomposer $a_A(\omega)$ et $B(\omega)$ dans la base des $\psi_n$, c'est à dire
$$
a_A(\omega) = \sum_n \psi_n(\omega)a_n ; \quad a_n=\int d\omega \psi_n^*a_A(\omega)
\quad B(\omega) = \sum_n \psi_n(\omega)B_n;\quad B_n=\int d\omega \psi_n^*B(\omega)
$$
et on pourra écrire que
$$
g^{\star p}\star a_A(\omega) = \sum_n \lambda_n^p\psi_n(\omega)a_n; \quad 
g^{\star p}\star B(\omega) = \sum_n \lambda_n^p\psi_n(\omega)B_n
$$


ce qui donnera finalement
$$
S^\dagger a_A(\omega) S = \sum_n \psi_n(\omega)\left[ \cosh(\lambda_n) a_n + \sinh(\lambda_n)B_n \right]
$$
et qui pourra aussi s'écrire sous la forme
$$
S^\dagger a_A(\omega) S = \int d\omega' \left[\bra {\omega} \cosh(G) \ket {\omega'} a_A(\omega )  + 
\bra {\omega} \sinh(G) \ket {\omega'} B(\omega') \right]
$$