生統第七章假設檢定－統計推論

# 生統第七章假設檢定－統計推論 ###### tags: `生統` ## Ｐ值(顯著水準/significant level) * 將樣品均值標準化，得到Ｚscore，再查表可以知道==機率大小== * P值通常以==α==表示 * 通常選定α===0.05==，但是也可以選0.01 or 0.10 * 當p值=α<0.05時，表示樣品出現的機會，在==100==次中少於==5==次，因此推論==樣品並非來自某族群== * P值，換句話說表示==結論判斷錯誤的機率== * P值越小，拒絕null hypothesis的可信度越高 >P值的分配有兩個可能性 >1.常態分佈的==單尾== >只有一個拒絕區。 >拒絕區在左邊=左尾檢定：拒絕區在右邊=右尾檢定 >個拒絕區的機率=$\alpha$ >2.常態分佈的==雙尾== >有兩個拒絕區=雙邊檢定 >雙尾各個拒絕區的機率=$\frac{\alpha}{2}$ <img src="https://i.imgur.com/wHM5lRk.jpg" width=75% height=75%> <img src="https://i.imgur.com/uUz5CFn.jpg" width=100% height=100%> ## 假設檢定程序(必考） 1. 虛無假設(null hypothesis) >對族群母數值的某一假設，通常定義這個假設is true， >通常以==H~0~== 表示 2. 對立假設(alternative hypothesis) >對族群母數值提出與虛無假設==相反==的假設， >通常以==H~1~== 表示 3. 設定P值(significant level) >α=0.05 or 0.01 4. 計算==樣品均值== 的==標準化值== Z score > Z=(𝑥-u~0~)/(𝜎/√𝑛) >若|Z|<Z~1-α~，則接受H~0~的假設 >相反地， >若|Z|≥Z~1-α~，則接受H~1~的假設 ```mermaid graph LR A[set null hypothesis]-->B(set alternative hypothesis) B -->C{Z score} C -->|lZl小於 Z1-α| D[Accept null hypothesis] C -->|lZl大於等於Z1-α| E[Accept alternative hypothesis] ``` ### 設定虛無假設、對立假設的原則 #### Principle 1 * R.A. Fisher原則 * 把==希望得到的結果==當作==alternative hypothesis== * 則將完全相反的結果當作null hypothesis * [理由] 要證明一個敘述為true不容易，但是讓一個敘述false只需要==一個反例== * [研究員期望]落入拒絕區 * [我的思路]通常檢定樣本=族群母值，如果希望的結果是要==不等於==，則這個原則好用！ #### Principle 2 * 一般來說==公認==的原則作為null hypothesis * ex1. 是否符合常態分佈 * ex2. 是否符合國家標準 * [研究員期望]==不要==落入拒絕區 #### Principle 3 * 有==等號==部分只會出現在null hypothesis * [研究員期望]對自己==有利==落入拒絕區，對自己無利的==不要==落入拒絕區 ## 例題一設一般人血液中平均膽固醇含量為180 mg%/ml，其標準偏差σ=50 mg%/ml。今調查某地區16個成人之平均膽固醇為200 mg%/ml，試問==某地區成人膽固醇是否合乎標準值==。 1. H~0~:u=u~0~=180 2. H~1~:u≠u~0~ 3. set significant level \begin{align} p=α & =0.05 \end{align} 5. calculate Z score \begin{align} Z & =\frac{200-180}{50/\sqrt{16}}=1.6 \end{align} 6. |z|=1.6 <Z~0.975~=1.96，故accept null hypothesis，表示某地區成人膽固醇含量合乎標準值。 ## 2類型錯誤 ![](https://i.imgur.com/7KLL1QK.jpg) * 檢測結果會有４種結果 #### 1.推論正確(1-α) * 樣品確實from族群 * 結果為==Accept null hypothesis== * 這樣的推論為正確 * 此推論正確的==機率===1-α #### 2.第一型錯誤 * 樣品確實from族群 * 結果為拒絕null hypothesis * 也就是==Accept alternative hypothesis== * 此推論==錯誤率===α #### 3.第二型錯誤 * 樣品==不是==from族群 * 結果為接受null hypothesis * 此推論==錯誤率===β #### 4.推論正確(1-β) * 樣品==不是==from族群 * 結果為拒絕null hypothesis * 也就是==Accept alternative hypothesis== * 此推論正確的==機率===1-β * 在統計上稱為==檢定力==(test of power) ## 例題二設今欲試驗某飼料添加魚骨粉後，對於雞每月的平均產蛋量是否提高。而一般的飼料，每隻雞每月平均產量為μ~0~=21個，標準差σ=9，假設今試驗100隻雞，每月平均產蛋量為𝑥 ̅=24個，試問添加魚骨粉是否能提高產蛋量？ 1. H~0~:u=u~0~=21 2. H~1~:u>u~0~ 3. set significant level \begin{align} p=\alpha & =0.05 \end{align} 4. calculate Z score \begin{align} Z & =\frac{24-21}{9/\sqrt{100}}=3.33 \end{align} 5.|Z|=3.33>Z~0.95~=1.645，故accept alternative hypothesis，表示添加魚骨粉可提高產蛋量。 [Z=1.645]u~0~=22.48，也就是說只要x>22.48，就會accept alternative hypothesis ## $\alpha$、$\beta$、檢定力(1-$\beta$)與樣品大小的關係 * 假如選取較小的$\alpha$，以限制第一型錯誤發生的機會，卻會增加第二型錯誤的機會。 * 研究員期望==兩種錯誤能夠both均能盡量減少 <img src="https://i.imgur.com/gcVpE72.jpg" width=85% height=85%> ## 例題三 依據大學聯招分數高低分發於甲乙大學學生IQ是否有差別，我們想測驗甲大學學生IQ是否比乙大學高出5個單位。設乙大學學生平均IQ=110，標準偏差σ=20，今從甲大學隨機抽取n=64位學生，測得其平均IQ=113 1. H~0~:u~甲~=u~乙~(=110) 2. H~1~:u~甲~(=113)>u~乙~(=110) 3. set significant level \begin{align} p=\alpha & =0.05 \end{align} \begin{align} Z~0.95~ & =1.645 \end{align} 4. calculate Z score \begin{align} Z & =\frac{113-110}{20/\sqrt{64}}=1.2<Z~0.95~=1.645 \end{align} 5. accept null hypothesis，表示甲乙大學學生IQ沒有差別。 6. 計算==檢定力==(1-$\beta$) \begin{align} u~甲~ & ≥u~0~+Z~0.95\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=110+1.645x\frac{20}{\sqrt{64}}=114.1 \end{align} 推論：要Accept alternative hypothesis，u~甲~>114.1，才會認為甲大學生IQ=115。若判斷正確，則判斷正確的機率為 \begin{align} 1-\beta & =Pr(u~甲~≥114.1) \\ & =Pr(Z≥\frac{114.1-115}{20/\sqrt{64}}) \\ & =Pr(Z≥-0.36) \\ & =1-Pr(Z≤−0.36) \\ & =1-0.3594 \\ & =64.06% \\ \end{align} <img src="https://i.imgur.com/c83DuAc.png" width=50% height=50%> ![](https://i.imgur.com/L03mBJN.jpg)