# Расчёт компенсирующих поправок угла плазмон-поляритонного резонанса с учётом неоднородности дифракционного спектра акустооптической ячейки
## Введение
Как известно, в спектре излучения, отклонённого акустооптическим перестраиваемым фильтром (АОФ) во время его работы, кроме главного пика, соответствующего основной длине волны по cторонам есть дополнительные пики меньших амплитуд. Профиль спектра в симметричном случае описывается функцией **sinc^2^** [A new method for determining the transfer function of an Acousto optical tunable filter, A. Mahieux & other]. Так как угол возбуждения поверхностного плазмон-поляритона (ППП) и значение коэффициента отражения на данном угле меняются нелинейно при изменении длины волны (Рис. 1), при сложении интенсивностей отраженного излучения от всего спектра АОФ угол минимума коэффициента отражения окажется сдвинут относительно угла возбуждения ППП на одной основной длиной волны.

<img src=https://hackmd.io/_uploads/Sy1bIhsE2.png width="100%">

<ins>**Рис 1.** Зависимость угла возбуждения ППП и коэффициента отражения на данном угле при изменении длины волны падающего излучения для следующей схемы: призма с n=1.5, слой золота толщиной 60 нм и воздух с n=1.</ins>

При асимметрии формы побочных максимумов угол минимума коэфицента отражения может быть сдвинут ещё сильнее от угла возбуждения плазмона. При АОФ как перестраиваемого источника излучения для проведения экспериментов по возбуждению плазмонов в схемах Кречмана или Отто было обнаружено, что асимметрия побочных максимумов интенсивности приводит к сдвигу (порядка нескольких секунд) вышеописанного минимума интенсивности отраженного излучения. Так как микроскопия поверхностного плазмонного резонанса (ППР) образцов является точным и чувствительным методом, даже такой небольшой сдвиг может вносить значительные погрешности в результаты вычислений при обработке данных эксперимента, в чём мы убедимся далее.

В данной работе предлагается простой, но эффективный метод расчёта поправок угла плазмонного резонанса с учётом несимметричности спектра пропускания акустооптической ячейки.

## Математические основы метода.
Для расчёта компенсирующих поправок предлагается из распределения интенсивности отражённого от некоторой оптической многослойной схемы излучения, измеренного на основной длине волны, вычитать интенсивности отражения излучения для той же схемы на длинах волн, соответствующих побочным максимумам. Продемонстрируем аналитические обоснования работоспособности данного метода.

Представим интенсивность отраженного от некоторой оптической многослойной системы излучения в следующем виде:
$$
I_{отр} =I * R(\lambda)
$$
где **I** - интенсивность падающего излучения на длине волны **$\lambda$**, **R** - коэффициент отражения схемы на выбранной длины волны в некотором диапазоне углов. Данная функция имеет минимум в точке, соответствующей возбуждению ППР вследствие переноса энергии в поверхностную волну. Соответственно $I_{отр}$ - интенсивность отражённого излучения в выбранном диапазоне углов.

Теперь представим дифракционный спектр АОФ в виде дискретного набора из 3-х длин волн (Рис 1), соответствующих основной длине волны **$\lambda$**, интенсивностью **I**, и двум побочным **$\lambda^-$** и **$\lambda^+$** интенсивностью **I^-^** и **I^+^** для левого и правого пика соответственно. Интенсивности **I^-^** и **I^+^** являются величинами первого порядка малости по сравнению с **I**, что очевидно из формы кривой **sinc^2^**.

<img src=https://i.imgur.com/KEmmj7z.png width="100%">

<ins>**Рис 2.** Упрощённая модель спектра акустооптического фильтра, представляющая из себя центральную длину волны и два первых побочных пика по бокам.</ins>

Проведём **1-й** мысленный эксперимент, суммарная интенсивность отраженного излучения в в котором является суммой интенсивностей отраженного излучения для трёх длин волн:
$$
I_{отр1} = I_1R(\lambda) + I^-_1R(\lambda^-) + I^+_1R(\lambda^+)
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (1)
$$
Так как минимум плазмон-поляритонного провала сдвигается при изменении длины волны (как мы говорили ранее), минимум интенсивности отражённого излучения будет смещён относительно положения минимума для основной длины волны **$\lambda$**.

Проведём **2-й** мысленный эксперимент, сместив основную длину волны АОФ в положение левого побочного пика первого эксперимента, получим:
$$
I_{отр2} = I_2R(\lambda^-) + I^{-}_2R(\lambda^{--}) + I^{+}_2R(\lambda^{-+})
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(2)
$$
$\lambda^{--}$ и $\lambda^{-+}$ - это длины волн, соответствующие левому и правому побочному пику соответственно для основной длины волны соответствующей левому побочному пику первого эксперимента. $I^{-}_2$ и $I^{+}_2$ - их интенсивности.
Помножим (2) на **(I^-^~1~/ I~2~)** что бы уровнять интенсивность центрального пика второго эксперимента с левым побочным пиком первого. Получим:
$$
\frac{I^-_1}{I_2}I_{отр2} = I^-_1*R(\lambda^-) + \frac{I^-_1I^{-}_2}{I_2}R(\lambda^{--}) + \frac{I^-_1I^{+}_2}{I_2}R(\lambda^{-+})
\quad(3)
$$
Коэффициенты вида $\frac{I^-_1I^{+}_2}{I_2}$ имеют третий порядок малости, так как в числителе стоят величины первого порядка малости, а в знаменателе стоит большая величина. Пренебрегая ими и вычитая (3) из (1) имеем:
$$
I_{отр1} - \frac{I^-_1}{I_2}I_{отр2} = I_1R(\lambda) + I^+_1R(\lambda^+)
$$
Проведя похожим образом **3-й** мысленный эксперимент, сдвинув основную длину волны в положение правого побочного пика первого эксперимента, скомпенсируем его вклад получим восстановленный профиль коэффициента отражения:
$$
I_{восст} = I_{отр1} - \frac{I^-_1}{I_2}I_{отр2} - \frac{I^+_1}{I_3}I_{отр3}= I_1R(\lambda)
\quad\quad\quad\quad\quad(4)
$$
Что совпадает с интенсивностью коэффициента отражения многослойной оптической системы для одной основной длины волны АОФ.

## Моделирование эксперимента
Теперь посмотрим как данный метод работает в случае реального спектра АОФ. Возьмём для изучения экспериментальный фифракционный спектр, чей максимум будет находиться на 629.8 нм, представленный на Рис. 3.

<img src=https://i.imgur.com/url30le.png width="100%">

<ins>**Рис. 3.** Спектр излучения акустооптического фильтра с максимумом на 629.8 нм.</ins>

Как видно, первый побочный пик слева имеет приблизительно ту же интенсивность, что второй побочный пик справа, значит его интенсивность уже имеет второй порядок малости, поэтому в пределах рассмотрения работоспособности алгоритма вычисления компенсирующих поправок мы будем рассматривать только первый правый пик. Изучая спектрограмму узнаём, что правый побочный пик сдвинут от главного 5.6 нм и его интенсивность меньше основного в 3 раза.

Моделировать возбуждение плазмонов будем в уже известной нам схеме: призма n=1.5, слой золота толщиной 60 нм и в качестве внешней среды выступает воздух с n=1. Расчётный минимум отражения монохромного излучения на 629.8 нм. находится на угле 44.32°.

Теперь вычислим интенсивность отражения излучения с приведённым выше спектром. Суммируя интенсивности отражения по диапазону длин волн, представленному на Рис. 3 с некоторым шагом (определяется разрешением использованного спектрометра, около 0.5 нм.), с учетом относительной интенсивности, получаем распределение, пропорциональное коэффициенту отражения в некотором диапазоне углов. Данное распределение не будет сильно отличаться от распределения для монохромного излучения, но минимум теперь будет находиться на 44.29°.

Сравнение зависимости профиля коэффициента отражения для монохроматического света с длиной волны 629.8 нм и для спектра АОФ на той же длине волны изображено на Рис. 4.

<img src=https://i.imgur.com/KB4fKwm.png
width="100%">
<ins>**Рис. 4.** Сравнение зависимости коэффициента отражения для монохроматического света с длиной волны 629.8 нм и для спектра АОФ на той же длине волны для схемы, состоящей из призмы с n=1.5, слоя золота толщиной 60 нм и воздуха с n=1.</ins>

Теперь вычислим компенсирующую поправку, для чего сместим распределение интенсивности излучения, указанное на Рис. 3. на 5.6 нм вправо, моделируя смещение основной длины волны акустооптического фильтра в положение, соответствующее первому правому побочному пику - 635.4 нм. Так как смещение длины волны небольшое, считаем, что профиль спектра меняется незначительно. Снова проводим расчёт интенсивности отражения и уменьшаем его в 3 раза, находим разность интенсивностей для спектров АОФ на основной длине волны и длины волны, соответствующей правому побочному пику, нормированному на относительную амплитуду и находим восстановленное положение минимума, которое теперь оказывается на 44.33°.

Для оценки работоспособности метода вычислим абсолютные значения отклонения полученных минимумов от минимума для монохромного излучения. Для чистого спектра АОФ сдвиг $\delta\Theta_{SPR}(\lambda_{AOF}$) = 0.03°., для восстановленного значения $\delta\Theta_{SPR}(\lambda_{восст}$) = 0.01°. Видно, что, хотя метод не вернул в данном случае изначальное значение угла минимума, соответствующего возбуждению поверхностного плазмон-поляритона на основной длине волны, но погрешность, обусловленная наличием боковых побочных пиков в спектре излучения акустооптического фильтра, была уменьшена в три раза. Для расчёта погрешностей определения параметров слоёв с помощью поляритонной спектроскопии была написана программа на языке Пайтон, которая подбирает параметры схемы с учётом измеренных значений минимума отражения методом оптимизации. Определив с помощью неё толщину слоя золота через минимум коэффициента отражения для спектра АОФ было получено значение d~АОФ~ = 70.3 нм, для восстановленного значения: d~восст~ = 57.9 нм. С учётом изначальной толщины в 60 нм, с помощью которой мы моделировали весь эксперимент, видим, что погрешность уменьшилась почти в 5 раз. Определив поочерёдно тем же методом оптические конатсанты золота получим следующие значения: n~АОФ~ = 0.001, k~АОФ~ = 3.420, n~восст~ = 0.220, k~восст~ = 3.395, что при реальном значении показателя преломления n = 0.189 и коэффициента экстинкции k = 3.401 получим уменьшение погрешности определения показателя преломления в 6 раз, а коэффициента экстинкции в 3 раза.

В завершении покажем, для какого спектра излучения мы получаем интенсивность отражения после вычисления поправок. Для этого берём спектр, изображённый на Рис. 3. и вычитаем из него профиль, сдвинутый на 5.6 нм и уменьшенный в 3 раза.

<img src=https://hackmd.io/_uploads/B15oenjE3.png
width="100%">
<ins>**Рис. 5.** Дифракционный спектр АОФ при компенсации первого побочного пика справа </ins>

Видно, что при вычитании сдвинутого спектра основной пик уменьшается незначительно а первый побочный пик справа компенсируется практически полностью. Более того, второй побочный пик справа так же становится меньше, а значит уменьшается и его вклад в общую интенсивность отражения. Таким образом компенсация первого правого и первого левого пика в спектре исключит вклад первых двух побочных пиков с обоих сторон и уменьшит вклад второго правого и второго левого побочного пика в спектре АОФ.

## Заключение.
В данной работе представлен метод вычисления компенсирующих поправок угла плазмонного резонанса с учётом несимметричности спектра пропускания акустооптической ячейки. Представлены аналитические вычисления, показывающие принцип работы данного метода. На примере данных, смоделированных с учётом неоднородности экспериментально измеренного спектра излучения акустооптического фильтра видно, что данный алгоритм может понизить погрешности определения параметров оптических слоёв, возникающие из-за неоднородности спектра, до шести раз. Из оценки погрешностей и отклонений определяемых параметров было показано, что даже самые небольшие погрешности в такой тонкой области, как плазмонная спектроскопия могут давать очень сильные отклонения в результаты проведения эксперимента.

Данный метод может использоваться для увеличения точности в микроскопии ППР при использовании АОЯ для возбуждения поверхностных плазмон-поляритонов при зондировании тонких слоёв.