# 直方圖等化與逆採樣變換方法(The Inverse Transform Method)

## 引理描述
- 數學符號:
- PDF:
$P_X(X=x)$代表$x$事件發生的機率。
- CDF:
$F_X(X=x)=P_X(X\leq x)=\int^x_{-\infty} P_X(s)ds$

:::spoiler　補充 PDF意義
對於一個樣本空間，一個機率函數給定每一事件一個機率值。機率函數的制定是為了量化「隨機」概念，
:::

- 限制前提:
$f^{-1}(\cdot)$為一對一，**可逆**函數。
$X$和$Y$都是**連續型**的隨機變數。

- ==**若前提條件滿足，$X$服從任意隨機分佈，則 $Y \sim U(0,1)\iff f(\cdot)\equiv F_X(x)$。**==

## 命題描述

- 已知條件：[隨機變數$X$的變數變換($Y=f(X)$)所對應的pdf: $P_Y(y)$](https://hackmd.io/@huangtech/Bke7lUFDu)。

<center>

$P_Y(y)=P_X(x)|\frac{dx}{dy}|$

</center>

- **逆採樣變換**命題描述:

藉由該條件$Y=f(X)$，希望尋求未知$f(\cdot)$，透過服從均勻分布$U(0,1)$之隨機變數$Y$，實現任意隨機分佈所對應的隨機變數$X=f^{-1}(Y)$，而該方法便取名為逆採樣變換。

- **直方圖等化(HE)** 命題描述:
定義所謂的對比度為全域顏色(灰階)盡可能地平均(好似uniform distribution)。因此，透過該條件$Y=f(X)$，希望經過一個可逆的變換$F_X(x)$，得到輸出直方圖分佈為uniform distribution。

<center>

<img width=70% src=https://i.imgur.com/KaTTaR0.png>

</center>

## 論證

### 1. 逆採樣變換
已知條件：
- $Y=f(X)$，若$f^{-1}()$存在，則$P_Y(y)=P_X(x)|\frac{dx}{dy}|$。

已知$X,Y$，尋求未知$f(\cdot)$。
- 證明:
若$Y\sim U(0,1)$且有變數變換$Y=f(X)$時，其中$f(\cdot)$可逆，則 ==**$f(\cdot)$等於隨機變數$X$的CDF ,$F_X(x)$**==。
也就是證明: $Y \sim U(0,1)\implies f(\cdot)\equiv F_X(x)$。

****

因為$Y\sim U(0,1)$，故$Y\in [0,1]$且$P_Y(y)=1$:

<center>

$P_Y(y)=P_X(x)|\frac{dx}{dy}|=P_X(x)|\frac{dx}{df(x)}|=P_X(x)|f'(x)|^{-1}=1$

$\implies f'(x)=P_X(x)$

</center>

便可知未知$f(\cdot)$，實際上 ==**$f(\cdot)$等於隨機變數$X$的CDF, $F_X(x)$**==:

<center>

$f(x)=\int^x_{-\infty}P_X(s)ds=F_X(x)=P_r(X\leq x)=y$

</center>

最後，實現了任意隨機分佈$P_X(x)$的採樣$x_i=F^{-1}_X(y_i)$。

換句話說，先從$P_Y(y)=U(0,1)$隨機採樣出$y_i$，再對其作$X$的CDF之逆變換$x_i=F^{-1}_X(y_i)$，就可以得到$P_X(x)$的採樣$x_i$。當然隨機變數$X$的PDF是使用者設定的。

### 2. 直方圖等化
- 證明:
若X服從任意隨機分佈且有變數變換$Y=f(X)$時，其中　==**$f(\cdot)$等於隨機變數$X$的CDF, $F_X(x)$**==，則$Y\sim U(0,1)$。
也就是證明: $Y \sim U(0,1)\Leftarrow f(\cdot)\equiv F_X(x)$。
****

$Y=f(X)$，$f^{-1}(\cdot)$存在。我們給定$f(X)=(L-1)F_X(x)=(L-1)\int^x_0 P_X(s)ds$。而有

<center>

$P_Y(y)=P_X(x)|\frac{dx}{dy}|$

</center>

其中，運用[Leibniz integral rule](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%AF%E5%88%86%E7%AC%A6%E5%8F%B7%E5%86%85%E5%8F%96%E5%BE%AE%E5%88%86)。

<ul>

:::spoiler Leibniz integral rule

<center>

$\frac{d}{dx} \int^{v(x)}_{u(x)}f(s)ds=\frac{d}{dx}[F(v(x))-F(u(x))]=F'(v(x))\frac{dv(x)}{dx}-F'(u(x))\frac{du(x)}{dx}=f(v(x))\frac{dv(x)}{dx}-f(u(x))\frac{du(x)}{dx}$

</center>

:::

</ul>

<br>

而有：

<center>

$|\frac{dx}{dy}|=|f'(x)|^{-1}=[(L-1)\frac{d}{dx}\int^x_0 P_X(s)ds]^{-1}=[(L-1)P_X(x)]^{-1}$

</center>

則有，

<center>

$P_Y(y)=P_X(x)|\frac{dx}{dy}|=\frac{1}{L-1}$, $0 \leq y \leq L-1$

</center>

也就是$Y \sim U(0,L-1)$。

當然在影像處理命題當中，$X,Y$皆為**離散型**隨機變數，也就無法保證轉換完可以拉伸對比度成均勻分佈，但是依然有效。

如同下圖所示($s=y,r=x,T=f$):
<center>

<img width=70% src=https://i.imgur.com/K4F3axE.png>

</center>

## 重點
給出了離散直方圖的例子，想表達：
<ul>

隨機變數$Y,X$之間的變數變換$f(\cdot)$，指的是事件本身，也就是值域$x,y$本身轉換。==**並不是$P_Y(y)=f(P_X(x))$**==。

</ul>

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