完全競爭市場推導：p = MR = MC 和 p < AVC

1. 完全競爭市場中 p = MR = MC 的推導

1.1 定義與基礎概念
1. 總收益（Total Revenue, TR）：

TR = $p \times Q$

其中：
• p：市場價格（固定，由市場決定）。
• Q：產量。
2. 平均收益（Average Revenue, AR）：

AR 的公式為：$AR = \frac{TR}{Q} = \frac{p \times Q}{Q} = p$
即，AR = p。
3. 邊際收益（Marginal Revenue, MR）：

MR = $\frac{\Delta TR}{\Delta Q} = \frac{\Delta (p \times Q)}{\Delta Q}$

在完全競爭市場中，價格 p 固定，因此 MR = p。
4. 邊際成本（Marginal Cost, MC）：

$MC = \frac{\Delta TC}{\Delta Q}$

• TC：總成本（Total Cost）。
• MC：生產每額外一單位的邊際成本。

1.2 利潤最大化條件
• 利潤（$\pi$）公式：

$\pi = TR - TC$

• 利潤最大化的條件是對 $\pi$ 取一階導數：

$\frac{d\pi}{dQ} = \frac{d(TR)}{dQ} - \frac{d(TC)}{dQ} = 0$

• 可得：MR = MC

1.3 結合完全競爭的特性
• 在完全競爭市場中，MR = p，因此：

p = MC

• 結論：在完全競爭市場的均衡點，價格 p、邊際收益 MR 和邊際成本 MC 相等：

p = MR = MC

2. 完全競爭市場中 p < AVC 的推導

2.1 成本結構分解
1. 總成本（Total Cost, TC）：

TC = TFC + TVC

• TFC：總固定成本（Total Fixed Cost），不隨產量變化。
• TVC：總變動成本（Total Variable Cost），隨產量變化。

2. 平均總成本（ATC）：
ATC = $\frac{TC}{Q} = \frac{TFC}{Q} + \frac{TVC}{Q}$

即：

ATC = AFC + AVC

• AFC = $\frac{TFC}{Q}$：平均固定成本。
• AVC = $\frac{TVC}{Q}$：平均變動成本。
3. 邊際成本（MC）：MC = $\frac{\Delta TC}{\Delta Q} = \frac{\Delta TVC}{\Delta Q}$

2.2 利潤公式
• 企業的利潤 $\pi$：

$\pi = TR - TC = (p \times Q) - (TFC + TVC)$

可重寫為：$\pi = Q \times (p - AVC) - TFC$

2.3 短期決策條件
1. 當 $p \geq AVC$：
• 當價格 p 高於或等於平均變動成本 AVC 時，企業至少可以覆蓋變動成本。
• 即使虧損（若 p < ATC），企業仍然會繼續生產以減少固定成本的負擔。
2. 當 p < AVC
價格無法覆蓋平均可變成本：
當價格 p 低於 AVC 時，生產每一單位產品的收入甚至不足以支付可變成本（如原材料和工人工資）。
繼續生產只會導致虧損加劇，因為企業每生產一單位都會損失更多。

單位收益 p 滿足：
p < AVC
$\text{每單位虧損} = (AVC - p)$
$\text{總虧損} = TFC + (AVC - p) \cdot Q$

此時，每生產一單位 Q，虧損會隨之增加。
3. 企業決策：停止生產：
• 停止生產後，企業的虧損只等於固定成本 TFC，這是最小虧損。
• 企業會選擇歇業（shut down）來避免額外的損失。

獨佔市場

1. 獨佔市場的需求函數與總收益
1. 需求函數（ P(Q) ）：
• 表示商品的價格 P 與銷售數量 Q 之間的關係，通常是向下傾斜的線性函數：

P = a - bQ

其中：
• a ：價格截距（當 Q = 0 時的價格）。
• b ：需求斜率，反映價格隨數量變化的幅度。
2. 總收益（Total Revenue, TR ）：
• 總收益是價格與數量的乘積：

$TR = P \times Q = (a - bQ) \times Q$

展開總收益函數：

$TR = aQ - bQ^2$

2. 邊際收益（MR）的推導

邊際收益是總收益對數量的導數，反映每增加一單位產量對總收益的影響：

$MR = \frac{d(TR)}{dQ}$

將總收益函數 $TR = aQ - bQ^2$ 導數求出：

$MR = \frac{d}{dQ} \left( aQ - bQ^2 \right) = a - 2bQ$

• MR = a - 2bQ
• 注意到：
• 需求函數的斜率是 -b 。
• 邊際收益的斜率是需求函數斜率的兩倍，為 -2b 。

1. 需求彈性與總收益的關係

需求彈性（Elasticity of Demand, $E_d$）反映價格變動對需求數量的影響程度：

$E_d = \frac{\% \Delta Q}{\% \Delta P} = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q}$

• $E_d > 1$：需求彈性大（彈性區間）：
• 價格下降會大幅增加銷量，總收益增加。
• E_d = 1：單位彈性（彈性極限）：
• 總收益達到最大值。
• E_d < 1：需求彈性小（非彈性區間）：
• 價格下降增加的銷量不足以彌補單價降低，總收益減少。

邊際收益公式考慮了需求彈性：

$MR = P \cdot \left( 1 + \frac{1}{E_d} \right)$

* 1. 當 E_d > 1（需求彈性大）：
• $\frac{1}{E_d} < 0$，因此 MR > 0。
• 在彈性區間，價格下降會提高總收益。
2. 當 E_d = 1（單位彈性）：
• $\frac{1}{E_d} = 0$，因此 MR = 0。
• 總收益達到最大值，此時是最佳價格與產量組合。
3. 當 E_d < 1（需求彈性小）：
• $\frac{1}{E_d} > 0$，因此 MR < 0。
• 在非彈性區間，價格下降會降低總收益。*

彈性與獨佔定價的決策

在獨佔市場中，企業選擇的價格和產量組合會根據以下條件：
• 利潤最大化條件為 MR = MC。
• 企業會選擇在需求彈性 $E_d > 1 $的區間運營，以保證邊際收益為正（即增加產量仍能提高總收益）。

| **市場類型** | **定義** | **參與者數量** | **產品特性** | **定價能力** | **進入壁壘** | **例子** |
|-------------------|-------------------------------------------|-----------------|-------------------|----------------------|------------------------|------------------------|
| **完全競爭市場** | 大量買方賣方，無個體能影響市場價格 | 很多 | 同質 | 無，接受市場價格 | 無 | 農產品市場、小麥市場 |
| **獨佔市場** | 只有一個賣方控制市場供應和價格 | 單一賣方 | 獨特 | 高，定價者 | 很高，法律/技術等限制 | 電力市場、專利藥品 |
| **寡占市場** | 少數企業控制市場，企業行為相互影響 | 少數（2-10 家） | 同質或差異化 | 中等，取決於競爭者 | 高，技術/資金壁壘 | 超商 |

獨佔形成的關鍵原因
| **類型** | **具體描述** | **例子** |
|--------------------|------------------------------------------|-------------------------|
| **法律限制** | 專利、特許權或法律保護壟斷行為 | 專利藥品、國有鐵路 |
| **技術或資源壟斷** | 控制稀缺資源或關鍵技術 | 德比爾斯鑽石、芯片製造 |
| **規模經濟** | 規模擴大顯著降低平均成本，自然壟斷形成 | 公共事業、電力公司 |

完全競爭市場
• 效率最高：
• 產量與價格等於邊際成本 p = MC，消費者剩餘最大化。
• 零經濟利潤：
• 長期內無超額利潤，促進資源的最優配置。

獨佔市場
• 效率損失：
• 由於 p > MC，價格高於邊際成本，產生無謂損失。
• 超額利潤：
• 獨佔者可長期保持經濟利潤，但會限制社會總福利。

寡占市場
• 戰略行為：
• 企業之間會發生價格競爭、合作（如卡特爾）、或非價格競爭。
• 效率與公平的折衷：
• 寡占可能提高創新動力，但過高的市場集中度也可能導致壟斷行為。

**差別定價**

| **類型** | **定義** | **例子** | **企業需求** |
|-------------------|------------------------------------------------------------------------------------------|-----------------------------------|--------------------------------------|
| **一級差別定價** | 根據每位消費者的支付意願，為同一產品收取不同價格 | 拍賣、藝術品交易 | 完全掌握每位消費者的支付意願 |
| **二級差別定價** | 根據購買數量或消費者選擇的偏好，設置不同價格 | 公用事業的分段定價、大量批發價格 | 了解消費者偏好，設置多層價格方案 |
| **三級差別定價** | 根據消費者特徵或市場劃分，為不同群體設置不同價格 | 學生票、老人票、國際航班市場定價 | 能夠有效劃分市場並防止商品低價轉售 |

某企業根據市場需求彈性將市場劃分為兩個子市場 A 和 B。已知：
• 市場 A 的需求函數為： $Q_A = 100 - 2P_A$
• 市場 B 的需求函數為： $Q_B = 120 - 4P_B$
• 邊際成本為 MC = 10 。

1. 計算市場 A 和 B 的邊際收益函數。
2. 根據 MR_A = MC = MR_B 的條件，求出市場 A 和 B 的最優價格（P_A 和 P_B）。
3. 計算企業在兩個市場中的總利潤。
解法框架

1. 計算邊際收益函數

市場 A 和 B 的總收益（TR）分別為：
• $TR_A = P_A \times Q_A$
• $TR_B = P_B \times Q_B$

將需求函數 P = f(Q) 代入，得到：
1. 市場 A 的邊際收益：

$TR_A = P_A \times Q_A = \left(\frac{100 - Q_A}{2}\right) Q_A$

展開並對$ Q_A $ 求導，得到 $MR_A $。
2. 市場 B 的邊際收益：

$TR_B = P_B \times Q_B = \left(\frac{120 - Q_B}{4}\right) Q_B$

展開並對 $ Q_B $求導，得到 $MR_B$ 。

2. 設定條件 $MR_A = MC = MR_B $
• 在兩個子市場中，邊際收益 MR 必須等於邊際成本 MC ：

$MR_A = MC = MR_B$

• 代入邊際收益函數，解聯立方程組，求出 $Q_A$ 和 $Q_B$。
3. 求出最優價格
• 利用需求函數 P = f(Q) ，將 $Q_A$和 $Q_B$ 代回，計算最優價格 $P_A$ 和 $P_B$
4. 計算總利潤
• 總利潤公式：

$\text{總利潤} = TR_A + TR_B - TC$

• TR_A 和 TR_B 是各市場的總收益。
• $TC = MC \times (Q_A + Q_B) 。$

**Cartel**
卡特爾（Cartel） 是一種寡占市場中的非競爭性行為，指多個企業之間達成協議，通過合作而非競爭來控制市場。其目的是限制產量、抬高價格、瓜分市場，以實現聯合壟斷的效果，從而獲得更高的利潤。