# Debye function
$$
E(\theta)=\sum_{p=1}^{n}A{\rm exp}\left(i\bf{k\cdot r_{p}}\right)\\
I\left(\theta\right)=|E(\theta)|^2=E(\theta)E^*(\theta)\\
E^*(\theta)=\sum_{q=1}^nA{\rm exp}\left(-i{\bf k\cdot r_{q}}\right)\\
I(\theta)=A^2\sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^n{\rm exp}\left(i{\bf k \cdot (r_p-r_q)}\right)\\
I(\theta)=A^2\sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^n{\rm exp}\left(i{\bf k \cdot r_{pq}}\right)\ \ \ \ {\bf r_{pq}\equiv r_p-r_q}\\
P(\theta)\equiv\frac{I(\theta)}{I(0)}\\
I(0)=A^2\sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^n1=A^2n^2\\
P(\theta)=\frac{1}{n^2}\sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^n{\rm exp}\left(i{\bf k \cdot r_{pq}}\right)\\
$$
等方体なら
$$
P(\theta)=\frac{1}{n^2}\sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^n\left<{\rm exp}\left(i{\bf k \cdot r_{pq}}\right)\right>\\
$$
bondベクトル${\bf r}$がガウス分布に従うなら
$$
\left<{\rm exp}(i{\bf k\cdot r_{pq}})\right>=\int d{\bf r_{pq}}\ {\rm exp}(i {\bf k\cdot r_{pq}})P({\bf r_{pq}})\\
P({\bf r_{pq}})=\left(\frac{3}{2\pi |p-q|l^2}\right)^{3/2}{\rm exp}\left(-\frac{3{\bf r_{pq}}}{2|p-q|l^2}\right)\\
=\left(\frac{\alpha_{pq}}{\pi}\right)^{3/2}{\rm exp}(-\alpha_{pq}{\bf r_{pq}})\\
$$
ここで$\alpha_{pq}=3/(2|p-q|l^2)$とした
$$
\left<{\rm exp}(i{\bf k\cdot r_{pq}})\right>=\int d{\bf r_{pq}}\ {\rm exp}(i {\bf k\cdot r_{pq}})P({\bf r_{pq}})\\
$$
$\bf k$をz軸とした曲座標変換をすることにより計算する。$\bf k$と$\bf r_{pq}$のなす角(極角)を$\theta$、偏角を$\phi$とすれば、${\bf k\cdot r_{pq}}=kr_{pq}cos\theta$となるため
$$
\left<{\rm exp}(i{\bf k\cdot r_{pq}})\right>=\int_{0}^{\infty}r_{pq}^2d{r_{pq}}\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{0}^{\pi}sin\theta d\theta \ {\rm exp}(i {k r_{pq} cos\theta})P({r_{pq}})\\
=2\pi \int_{0}^{\infty}r_{pq}^2P(r_{pq})dr_{pq}\int_{0}^{\pi}sin\theta {\rm exp}(ikr_{pq}cos\theta)d\theta
$$
$cos\theta = t$による置換により
$$
=2\pi \int_{0}^{\infty}r_{pq}^2P(r_{pq})dr_{pq}\int_{-1}^{1}- {\rm exp}(ikr_{pq}t)dt\\
=-2\pi \int_{0}^{\infty}r_{pq}^2P(r_{pq})dr_{pq}\frac{e^{ikr_{pq}}-e^{-ikr_{pq}}}{ikr_{pq}}\\
=-\frac{2\pi}{ik}\int_{0}^{\infty}r_{pq}P(r_{pq})\left(e^{ikr_{pq}}-e^{-ikr_{pq}}\right)dr_{pq}\\
=-\frac{2\pi}{ik}\left(\frac{\alpha_{pq}}{\pi}\right)^{3/2}\int_{0}^{\infty}r_{pq}e^{-\alpha_{pq}r_{pq}^2}\left(e^{ikr_{pq}}-e^{-ikr_{pq}}\right)dr_{pq}\\
=-\frac{2\pi}{ik}\left(\frac{\alpha_{pq}}{\pi}\right)^{3/2}\left[\int_{0}^{\infty}r_{pq}e^{-\alpha_{pq}r_{pq}^2+ikr_{pq}}dr_{pq}-\int_{0}^{\infty}r_{pq}e^{-\alpha_{pq}r_{pq}^2-ikr_{pq}}d_{pq}
\right]
$$
第二項の積分に関して$r_{pq}=-r_{pq}^{\prime}$とすれば
$$
=-\frac{2\pi}{ik}\left(\frac{\alpha_{pq}}{\pi}\right)^{3/2}\left[\int_{0}^{\infty}r_{pq}e^{-\alpha_{pq}r_{pq}^2+ikr_{pq}}dr_{pq}-\int_{-\infty}^{0}r_{pq}e^{-\alpha_{pq}r_{pq}^{\prime 2}+ikr_{pq}^{\prime}}d_{pq}^{\prime}
\right]\\
=-\frac{2\pi}{ik}\left(\frac{\alpha_{pq}}{\pi}\right)^{3/2}\int_{-\infty}^{\infty}r_{pq}e^{-\alpha_{pq}r_{pq}^2+ikr_{pq}}dr_{pq}\\
=-\frac{2\pi}{ik}\left(\frac{\alpha_{pq}}{\pi}\right)^{3/2}\int_{-\infty}^{\infty}\left\{-\frac{1}{2\alpha_{pq}}\left(e^{-\alpha_{pq}r_{pq}^2+ikr_{pq}}\right)^{\prime}+\frac{ik}{2\alpha_{pq}}e^{-\alpha_{pq}r_{pq}^2+ikr_{pq}}
\right\}dr_{pq}\\
=\frac{2\pi}{ik}\left(\frac{\alpha_{pq}}{\pi}\right)^{3/2}\frac{1}{2\alpha_{pq}}\left(\left[
e^{-\alpha_{pq}r_{pq}^2+ikr_{pq}}\right]_{-\infty}^{\infty}+ik \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha_{pq}r_{pq}^2+ikr_{pq}}dr_{pq}
\right)\\
=\left(\frac{\alpha_{pq}}{\pi}\right)^{1/2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha_{pq}r_{pq}^2+ikr_{pq}}dr_{pq}\\
$$
ここで以下の項
$$
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha_{pq}r_{pq}^2+ikr_{pq}}dr_{pq}=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha_{pq}(r_{pq}-\frac{ik}{2\alpha_{pq}})^2-\frac{k^2}{4\alpha_{pq}}}dr_{pq}\\
=e^{-\frac{k^2}{4\alpha_{pq}}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha_{pq}(r_{pq}-\frac{ik}{2\alpha_{pq}})^2}dr_{pq}\\
$$
に関しては次の複素ガウス積分を用いて
$$
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x+ib)^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}
$$
$$
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha_{pq}(r_{pq}-\frac{ik}{2\alpha_{pq}})^2}dr_{pq}=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha_{pq}}}\\
$$
となるため、最終的に
$$
\left<{\rm exp}(i{\bf k\cdot r_{pq}})\right>=e^{-\frac{k^2}{4\alpha_{pq}}}=e^{-\frac{|p-q|k^2l^2}{6}}
$$
よって$P(\theta)$は
$$
P(\theta)=\frac{1}{n^2}\sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^ne^{-\frac{|p-q|k^2l^2}{6}}
$$
$n\gg 1$を想定し、和を積分に変換する
$$
P(\theta)=\frac{1}{n^2}\int_{0}^{n}\int_{0}^{n}e^{-\frac{|p-q|k^2l^2}{6}}dpdq\\
$$
$s\equiv \frac{p}{n},\ t\equiv\frac{q}{n}$　により置換する
$$
P(\theta)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}e^{-\frac{|s-t|nk^2l^2}{6}}dsdt
$$
さらに$Q\equiv nk^2l^2/6$とする
$$
P(\theta)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}e^{|s-t|Q}dsdt\\
=\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{t}e^{-Q(t-s)}ds+\int_{t}^{1}e^{-Q(s-t)}ds\right]dt\\
=\int_{0}^{1}\left[e^{-Qt}\int_{0}^{t}e^{Qs}ds+e^{Qt}\int_{t}^{1}e^{-Qs}ds
\right]dt\\
=\frac{1}{Q}\int_{0}^{1}\left[e^{-Qt}(e^{Qt}-1)-e^{Qt}(e^{-Q}-e^{-Qt})
\right]dt\\
=\frac{1}{Q}\int_{0}^{1}\left[2-e^{-Qt}-e^{-Q}e^{Qt}
\right]dt\\
=\frac{1}{Q}\left[2+\frac{e^{-Q}-1}{Q}-e^{-Q}\frac{e^Q-1}{Q}
\right]\\
=\frac{2}{Q^2}\left[e^{-Q}-1+Q
\right]
$$
以上により
$$
{\rm Debye^,s\ equation}\\
P(\theta)=\frac{2}{Q^2}\left[e^{-Q}-1+Q
\right]\ \ \ {\rm with}\ \ Q=nk^2l^2/6=\left<S\right>k\\
$$

## Ex4-1