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tags: signal
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# 訊號的取樣(Sampling)
## Impulse Train Sampling
當我們想將連續訊號以離散訊號的方式表示時，一個簡單的方式就是每隔一段時間$T = \frac{2\pi}{\omega_s}$對訊號進行採樣獲得離散型的訊號(其中$\omega_s$稱為***sampling rate***)。以數學方式來表達即：當訊號為$x(t)$時，定義$x_p(t)$
$$
\begin{align}
x_p(t)
& = \sum_{k = -\infty}^{\infty}
x(t)\delta(t - k T)
\\
& = x(t) \cdot \sum_{k = -\infty}^{\infty} \delta(t - k T)
\end{align}
$$
而根據convolution在Fourier transform的[性質](https://hackmd.io/wIJ3FuthR1i4-Ly-f8V0VQ#Convolution)，我們知道$x_p$在frequency domain中為
$$
X_p(j\omega)
= \frac{1}{2\pi} X(j\omega) * \mathcal F\{ \sum_{k = -\infty}^{\infty}
\delta(t - kT) \}
$$
而由於上面impulse train的Fourier transform在frequency domain的[結果](https://hackmd.io/wIJ3FuthR1i4-Ly-f8V0VQ#Example-Inpulse-Train)為
$$
\frac{2\pi}{T} \sum_{k = -\infty}^{\infty}
\delta(\omega - \frac{2\pi}{T}k)
= \frac{2\pi}{T} \sum_{k = -\infty}^{\infty}
\delta(\omega - k\omega_s)
$$
，我們得到
$$
\begin{align}
X_p(j\omega)
= \frac{1}{2\pi} X(j\omega) * \frac{2\pi}{T} \sum_{k = -\infty}^{\infty}
\delta(\omega - k\omega_s)
\end{align}
$$
當$\delta(t - t_0)$和函數$f(t)$做convolution，其結果其實就是$f(t)$向右平移$t_0$單位的結果$f(t - t_0)$，也因此上式的結果其實就是將$\frac{1}{T}X_p(j\omega)$在frequency domain中每隔$\omega_s$複製一次並且平移$\omega_s k$的結果做加總:
$$
X_p (j \omega) = \frac{1}{T} \sum_{k = -\infty}^{\infty}
X(j(\omega - k \omega_s))
$$
舉例來說，假設有個訊號在frequency domain中只在$-\omega_M$和$\omega_M$之間有值，且圖形如下：
當我們使用$\omega_s > \omega_M$的取樣頻率來獲得$x_p$，則它在frequence domain的圖形$X_p(j \omega)$如下：
如果我們想要還原回原始的訊號，則我們只要將$X_p$乘上一個帶寬介於$\omega_M$和$\omega_s - \omega_M$的ideal low-pass filter，其圖形如下：
就能還原原始訊號$X(j \omega)$了。而由於頻域中的乘法相當於時域中的convolution，這個還原的步驟從時域相當於我們將採樣的結果$x_p(t)$通過一個unit impulse response恰好為$h(t) = \mathcal F^{(-1)} \{ H(j \omega) \}$的linear system。
然而，當我們取樣的頻率$\omega_s$小於$\omega_M$的時候，取樣結果在頻域就會發生交疊的情形：
如此一來，我們就無法透過low-pass filter來還原本來的訊號$x(t)$了，此種情形稱為訊號的混疊(aliasing)。