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# 傅立葉轉換的直觀推導與理解
## 複習：傅立葉級數
傅立葉級數的概念即是將函數空間中的函數視作為一個向量，並且透過內積的方式將其在正交基底$\{e^{j \omega_0 kt}, k \in \mathbb Z\}$上的投影以內積的方式計算而得。對於一個週期為$T = \frac{2 \pi}{\omega_0}$的週期函數，當我們為該空間定義其[內積](https://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space#Hilbert_space)為
$$
\langle f, g \rangle = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}
f(t) \overline{g(t)} dt
$$
若我們限制此空間內的函數$f$皆滿足$|f(t)|^2$在區間$[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]$的積分會收斂時，則在數學上可證明$\{e^{j k \omega_0 t}, k \in \mathbb Z\}$可構成該函數空間的證交基底，也因此，根據上面的內積定義，空間內的任一函數都可用該基底的線性組合來表示，也就是
$$
f(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0t}
$$
其中，根據正交基底的特性，我們知道當$n \neq m$，$\langle e^{jm\omega_0t}, e^{jn\omega_0t} \rangle = 0$。也因此
$$
\begin{align}
\langle f(t), e^{jn\omega_0t} \rangle
&=
\sum_{k = -\infty}^{\infty} \langle a_k e^{jk\omega_0t}, e^{jn\omega_0t}\rangle
\\ &=
\sum_{k = -\infty}^{\infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}
a_k e^{jk\omega_0 t} e^{-nk\omega_0 t} dt
\\ &=
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}
a_k e^{nk\omega_0 t} e^{-nk\omega_0 t} dt
\\ &=
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}
a_k \cdot 1 dt = T \cdot a_k
\end{align}
$$
最後我們得到
$$
\begin{align}
a_k
&= \frac{1}{T}
\langle f(t), e^{jk\omega_0t} \rangle
\\ &=
\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-jk\omega_0 t} dt
\end{align}
$$
此即為傅立葉級數的概念。

## 傅立葉轉換：傅立葉級數的推廣
由於傅立葉級數所適用的函數僅適用於週期有限的週期函數，因此當函數本身不具備週期的時候，我們沒有辦法直接用上述的方式將函數做展開，因此，我們必須使用逼近（即取極限）的方式來想像非週期函數的展開。首先，我們先考慮擁有以下性質的函數：
$$
f(t) = 0, \forall t \le T_1
$$
也就是說，$f(t)$只會在距離原點$T_1$的範圍內才會有非零的值，很顯然地，當函數擁有非零值時，它並非一個週期函數，也因此，我們首先將函數以複製的方式將它先改造成一個週期函數，其方式如下：首先選取一個足夠大的週期$T \ge \frac{T_1}{2}$將原本的$f(t)$給包圍起來，並且在週期為$T$之下週期性地將此範圍不斷往外複製獲得一個週期函數$\tilde f(t)$：
（一個不嚴謹但直觀的觀察是，當我們將$T$逼近無限大，$\tilde f(t)$在圖形上來看將會與$f(t)$是一致的，也就是$f(t) = \tilde f(t)$，也因此在推導的後段，我們會迫使$T$趨近於無窮大來使得$f(t) = \tilde f(t)$），此時，我們就可以求得$\tilde f(t)$這個週期函數的傅立葉級數為
$$
\begin{align}
\tilde f(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} a_k e^{j k\omega_0 t}
\end{align}
$$
其中
$$
\begin{align}
a_k
&=
\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \tilde f(t) e^{-jk\omega_0 t} dt
\end{align}
$$
由於上面的積分範圍是在$[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]$內，在該區間內$f(t)$與$\tilde f(t)$的取值是完全相同的，且$f(t)$在距離原點$\frac{T}{2}$以外其函數值都是$0$，因此上面的積分等同於
$$
\begin{align}
a_k
&=
\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \tilde f(t) e^{-jk\omega_0 t} dt
\\ &=
\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-jk\omega_0 t} dt
\\ &=
\frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-jk\omega_0 t} dt
\end{align}
$$
當我們定義
$$
X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} dt
$$
則$a_k$可用$X(j \omega)$表示為
$$
a_k = \frac{1}{T} X(jk\omega_0)
$$
也就是說$\tilde f(t)$的傅立葉級數等同於
$$
\tilde f(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} \frac{1}{T} X(jk\omega_0) e^{jk\omega_0 t}
$$
因為$\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$，故
$$
\tilde f(t) = \frac{1}{2\pi} \sum_{k = -\infty}^{\infty} X(jk\omega_0) e^{-jk\omega_0 t} \omega_0
$$
巧合的是，上面的展開形式其實就是我們對$X(j\omega) e^{-j\omega t}$這個以$\omega$為變數的函數以間距$\omega_0$在整個實數軸上取值所構成的[黎曼和](https://zh.wikipedia.org/wiki/黎曼积分#黎曼和)！並且當$\omega_0$這個間距越趨近於$0$時(等同於$T$趨近於無限大)，該黎曼和就會變成$X(j\omega) e^{-j\omega t}$這個函數在實數軸上的黎曼積分，又因為當$T$趨近於無限大時，$\tilde f(t)$就會趨近於$f(t)$這個非週期性的函數，最後我們會得到下面的結論
$$
f(t) = \lim_{T \rightarrow \infty} \tilde f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega
$$
也就是說當我們知道$X(j\omega)$，就可以透過上述的方式將$X(j\omega)$轉換為$f(t)$，此即為inverse Fourier transform。而我們定義的$X(j \omega)$即為$f(t)$的傅立葉轉換。用線性代數的觀點來想像，我們可以將$\{e^{j\omega}, \omega \in \mathbb R\}$視作是函數空間的一組基底，並且該基底向量的個數是可數無窮多個，當我們想將$f(t)$以這組基底的線性組合做表達時，由於基底的個數是不可數無窮多，因此我們從原本傅立葉級數的求和方式拓展成積分的形式，也就是說，inverse Fourier transform就是傅立葉級數的推廣，而傅立葉轉換本身可想像成用內積的方式來計算該函數在基底向量上的分量。

## 總結
由於非週期函數$f(x)$無法透過傅立葉級數的方式做展開，因此我們透過“週期性複製”的手段來構造出一個週期性函數$\tilde f(x)$，使得我們可以使用傅立葉級數對$\tilde f(x)$做展開，而當我們將$T$這個週期逼近無窮大時，該展開就會拓展為積分的形式，並且$\tilde f(x)$也會逼近我們原本想要刻畫的函數$f(x)$，也因此我們最後得到的結論是$f(x)$可以用積分的方式對一組不可數無窮維的基底做展開。